Um mol de um gás diatômico ideal inicialmente em um volume de 101 e uma temperatura de 300 K é aquecido a volume constante até uma temperatura de 600 K , expandido isotermicamente até sua pressão inicial e finalmente comprimido isobaricamente até o volume, pressão e temperatura iniciais.
calcule o calor inserido no sistema durante um ciclo.

Passo 1

Vamos lá! Você tem 1 mol de um gás diatômico ideal que começa com um volume de 101 (provavelmente litros) e uma temperatura de 300 K. Esse gás passa por três etapas:
  1. Aquecimento a volume constante até 600 K.
  2. Expansão isotérmica (temperatura constante) até voltar à pressão inicial.
  3. Compressão isobárica (pressão constante) para retornar às condições iniciais.
Queremos calcular o calor total que entra no sistema durante todo esse ciclo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as leis dos gases ideais e os diferentes processos termodinâmicos envolvidos.

Passo 2

Primeiro Processo: Aquecimento a Volume Constante
Nesse processo, o volume não muda, então não há trabalho realizado pelo gás (W = 0). O calor fornecido ao sistema (Q₁) é usado apenas para aumentar a energia interna do gás.
A mudança na energia interna (ΔU) é dada por:
De
Onde:
  • $ n = 1 $ mol
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante para um gás diatômico. Para gás diatômico, $ C_v = \frac{5}{2}R $
  • $ \Delta T = T_2 - T_1 = 600,K - 300,K = 300,K $
Então:
n = 1
Portanto, o calor $ Q_1 = \Delta U = 750R $

Passo 3

Segundo Processo: Expansão Isotérmica
Aqui, a temperatura permanece constante em 600 K. O calor fornecido ao gás durante uma expansão isotérmica é igual ao trabalho realizado pelo gás:
Q2 = W = nRT ln(VfVi)
Mas queremos que a pressão volte à pressão inicial $ P_1 $. Usando a lei dos gases ideais $ P V = n R T $, podemos relacionar os volumes.
Inicialmente, após o primeiro processo, temos:
P1
No final da expansão isotérmica:
P V = n R T
Então:
P1 V1 = n R T2
Parece que houve um engano aqui. Na verdade, após expansão isotérmica, o volume final $ V_f $ deve ser tal que a pressão retorne a $ P_1 $. Vamos corrigir:
Usando $ P_i V_i = n R T $, a pressão inicial após o aquecimento é:
P1 Vf = n R T2
Quando o gás expande isotermicamente até que $ P = P_1 $, temos:
VfV1 = P1 V1P1 V1 = 1
Logo:
Vf
Sabendo que inicialmente $ P_1 V_i = n R T_1 $, podemos substituir $ P_1 $:
P1
Agora, calculamos $ Q_2 $:
Pi Vi = n R T

Passo 4

Terceiro Processo: Compressão Isobárica
Agora, o gás é comprimido a pressão constante de volta aos valores iniciais. O calor trocado nesse processo é:
Q3 = n Cp De
Onde $ C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R $ para um gás diatômico.
A variação de temperatura $ \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 300,K - 600,K = -300,K $
Então:
Cp = Cv + R = 52R + R = 72R

Passo 5

Calculando o Calor Total no Ciclo
Agora, somamos os calores de cada processo:
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3 = 750R + 600R ln(2) - 1050R
Simplificando:
Qtotal = (750R - 1050R) + 600R ln(2) = -300R + 600R ln(2)
Fatorando $ R $:
R
Calculando numericamente (usando $ R \approx 8.314 , J/mol·K $):
Qtotal = R ( -300 + 600 ln(2) )

Resposta

O calor total inserido no sistema durante o ciclo é aproximadamente 963 J.

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