Faça um texto sobre Alguns Aspectos da Álgebra Linear, incluindo no mínimo os ítens abaixo:
Subespaço Gerado por conjunto de vetores
(a) Definição
(b) exemplo

Passo 1

O enunciado pede um texto sobre “Alguns Aspectos da Álgebra Linear” e exige, no mínimo, que sejam tratados os itens relacionados a “Subespaço Gerado por conjunto de vetores” com as partes:
  • (a) Definição do subespaço gerado por um conjunto de vetores.
  • (b) Exemplo (ou exemplos) que ilustrem a definição e mostrem como aplicar na prática.
Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
  • Deve haver uma definição clara e formal do que é o subespaço gerado por um conjunto de vetores.
  • Deve haver pelo menos um exemplo computacional, passo a passo, que permita entender e aplicar a definição em uma situação concreta.
  • O texto deve ser didático, com passos que permitam resolver problemas parecidos na prova.

Passo 2

Conceitos básicos necessários (rapidamente, para não pular etapas)
Antes de falar de subespaço gerado, é bom lembrar o que é um espaço vetorial (de forma intuitiva e mínima):
  • Um conjunto V é um espaço vetorial se nele se definem duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares (números), que obedecem regras usuais (comutatividade, associatividade, existência do vetor nulo 0, existência de inversos aditivos, distributividade, etc.).
  • Exemplos comuns: \mathbb{R}^n (vetores com n coordenadas reais), o conjunto de polinômios com coeficientes reais, o conjunto de matrizes de tamanho fixo.
Essas ideias servem só para que o conceito de “subespaço” faça sentido: um subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial que, por si só, é também um espaço vetorial (com as mesmas operações).

Passo 3

O que é uma combinação linear (fundamento para o span)
  • Dado um conjunto finito de vetores S=\{v_1,v_2,\dots,v_k\} com v_i pertencendo a um espaço vetorial V, uma combinação linear desses vetores é um vetor da forma
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_k v_k,
onde \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k são escalares (números reais, se V for sobre \mathbb{R}).
  • Aqui cada v_i é um vetor (por exemplo v_i\in\mathbb{R}^n) e cada \alpha_i é um escalar. A combinação linear é simplesmente uma soma ponderada dos vetores.
Explicação intuitiva: combinar vetores multiplicando-os por números e somando; muitos vetores podem ser obtidos assim a partir de um conjunto gerador.

Passo 4

Definição do subespaço gerado por um conjunto de vetores (a)
  • Definição formal:
\operatorname{span}(S)=\{\,\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k \mid k\in\mathbb{N},\\ \alpha_i\in\mathbb{R},\\ v_i\in S\,\}.
Isto é, \operatorname{span}(S) é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de vetores de S.
  • Interpretação: \operatorname{span}(S) é o menor subespaço de V que contém S. “Menor” no sentido de inclusão: qualquer subespaço que contenha S também contém \operatorname{span}(S).
Propriedades importantes (e por que \operatorname{span}(S) é mesmo um subespaço):
  1. Contém o vetor nulo: usando todos \alpha_i=0 obtém-se 0\in\operatorname{span}(S).
  2. Fechado sob soma: se u e w são combinações lineares de vetores de S, então u+w também é combinação linear de vetores de S (basta concatenar os termos e somar os coeficientes correspondentes).
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se u\in\operatorname{span}(S) e \lambda é escalar, então \lambda u é combinação linear também.
    Essas três propriedades garantem que \operatorname{span}(S) é um subespaço.
Dica prática (exame): para mostrar que um conjunto é o span de outro, mostre que todo vetor do conjunto alvo é combinação linear dos geradores; para mostrar que algo NÃO está no span, tente resolver o sistema linear que busca os coeficientes e mostre que ele não tem solução.

Passo 5

Exemplo 1 — caso simples e direto (b)
Considere V=\mathbb{R}^3 e os vetores
v_1=(1,0,0),\qquad v_2=(0,1,0).
Vamos descrever \operatorname{span}(\{v_1,v_2\}).
  • Uma combinação linear genérica é
\alpha v_1+\beta v_2=\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)=(\alpha,\beta,0).
  • Logo
\operatorname{span}(\{v_1,v_2\})=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Interpretando: é o plano formado por todos os vetores cujo terceiro componente é 0 (o plano z=0 em \mathbb{R}^3). Este é um subespaço de \mathbb{R}^3 de dimensão 2.
Observações didáticas:
  • Para ver se um vetor como (3,1,0) pertence a esse span, basta resolver para \alpha,\beta na equação (\alpha,\beta,0)=(3,1,0). A solução é \alpha=3,\\ \beta=1, logo pertence.
  • Para (1,1,1) não existe \alpha,\beta que o produza (pois o terceiro componente seria 0 na combinação), então (1,1,1)\notin\operatorname{span}(\{v_1,v_2\}).

Passo 6

Exemplo 2 — vetores linearmente dependentes (mostrando redução do gerador)
Considere em \mathbb{R}^3 os vetores
u_1=(1,2,3),\qquad u_2=(2,4,6).
Note que u_2 = 2u_1. O que isso implica sobre \operatorname{span}(\{u_1,u_2\})?
  • Qualquer combinação linear \alpha u_1 + \beta u_2 pode ser escrita como
\alpha u_1 + \beta u_2 = \alpha u_1 + \beta(2u_1) = (\alpha + 2\beta)u_1,
ou seja, todas as combinações são múltiplos de u_1.
  • Portanto
\operatorname{span}(\{u_1,u_2\})=\{ \gamma u_1 \mid \gamma\in\mathbb{R}\},
que é uma reta passando pela origem (subespaço unidimensional). Em termos práticos, se os vetores são linearmente dependentes, alguns deles são desnecessários para gerar o mesmo subespaço; pode-se reduzir o gerador.

Passo 7

Como testar se um vetor w pertence a \operatorname{span}(S) — procedimento prático para provas
Se S=\{v_1,\dots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n e w\in\mathbb{R}^n, busque escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k tais que
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k = w.
Isto é um sistema linear em incógnitas \alpha_i. Método:
  1. Coloque as coordenadas dos vetores v_i como colunas de uma matriz A.
  2. Resolva A\begin{pmatrix}\alpha_1\\\ \vdots\\\ \alpha_k\end{pmatrix}=w por eliminação (redução por linhas).
  3. Se o sistema for compatível, w\in\operatorname{span}(S); caso contrário, w\notin\operatorname{span}(S).
Exemplo rápido:
  • Seja v_1=(1,0,0),\\ v_2=(0,1,0) e w=(1,1,1).
  • Matriz e sistema:
\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\\ \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
A terceira linha dá 0\cdot\alpha+0\cdot\beta=1, impossível, logo sem solução e w\notin\operatorname{span}(\{v_1,v_2\}).

Passo 8

Relação com base e dimensão (noções que ajudam a entender spans)
  • Um conjunto B é uma base de um subespaço W se B é linearmente independente e \operatorname{span}(B)=W.
  • A dimensão de W é o número de vetores em qualquer base de W.
  • Consequência prática: se S gera W, então uma base de W é um subconjunto de S obtido eliminando vetores linearmente dependentes (processo de redução de colunas via eliminação de Gauss).
Dica de prova: para mostrar que \operatorname{span}(S)=W, pode-se mostrar duas inclusões: \operatorname{span}(S)\subset W e W\subset \operatorname{span}(S). Muitas vezes fica mais simples mostrar que todo vetor de W é combinação linear dos vetores de S (segunda inclusão) e que S\subset W e W é subespaço (primeira vem de fechar sob combinações).

Passo 9

Resumo prático e sugestões para a prova (linguagem direta, estilo amigo)
  • Para definir: diga exatamente a fórmula de \operatorname{span}(S) e explique em palavras que são todas as combinações lineares. Use a frase "menor subespaço que contém S" para fixar a ideia.
  • Para um exemplo: escolha vetores em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 e calcule a combinação geral para mostrar qual conjunto é obtido (reta, plano, todo o espaço).
  • Para verificar pertinência de um vetor ao span: monte o sistema linear e resolva; na prova, escreva os passos da eliminação.
  • Se você precisar simplificar o gerador, cheque dependência linear e elimine vetores redundantes (mostre expressões explícitas como no Exemplo 2).
  • Não esqueça: sempre que trabalhar com coordenadas, escreva-as entre parênteses e trate as incógnitas como escalares \alpha_i em TeX para maior clareza.

Resposta

Definição: \operatorname{span}(S)=\{\,\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k \mid k\in\mathbb{N},\\ \alpha_i\in\mathbb{R},\\ v_i\in S\,\}.
Exemplo: Para v_1=(1,0,0) e v_2=(0,1,0) em \mathbb{R}^3, \operatorname{span}(\{v_1,v_2\})=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}, ou seja, o plano z=0.

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