Questão 4) (1 pt) Determina as assíntotas horizontais e verticais da função
y(x)=\frac{2 e^{x}}{e^{x}-5}

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x)=\frac{2 e^{x}}{e^{x}-5}
e pede que se determinem as assíntotas horizontais e verticais. Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma razão de exponenciais; o denominador é e^{x}-5.
  • Pontos a verificar: onde o denominador se anula (possíveis assíntotas verticais) e limites quando x\to+\infty e x\to-\infty (assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: achar o domínio da função, porque assíntotas verticais ocorrem quando o denominador zera. Resolver
e^{x}-5=0
significa
e^{x}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\ln 5.
Portanto o domínio da função é
\mathbb{R}\setminus\{\ln 5\},
ou seja, a função está definida para todo x real exceto em x=\ln 5. Isso indica que x=\ln 5 é candidato a assíntota vertical.

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento da função quando x se aproxima de \ln 5 pelas duas direções, para confirmar a assíntota vertical e o sinal do infinito.
Quando x\to\ln 5 temos e^{x}\to 5. O numerador tende a
2e^{x}\to 2\cdot 5 = 10,
um número positivo finito. O denominador e^{x}-5 tende a zero; o sinal depende do lado:
  • Se x\to\ln 5^{-} então e^{x}\to 5^{-} e e^{x}-5\to 0^{-} (pequeno negativo). Assim
\lim_{x\to\ln 5^{-}} y(x)=\frac{10}{0^{-}}=-\infty.
  • Se x\to\ln 5^{+} então e^{x}\to 5^{+} e e^{x}-5\to 0^{+} (pequeno positivo). Assim
\lim_{x\to\ln 5^{+}} y(x)=\frac{10}{0^{+}}=+\infty.
Conclusão: existe uma assíntota vertical em x=\ln 5, com comportamento y\to -\infty pela esquerda e y\to +\infty pela direita.

Passo 4

Agora as assíntotas horizontais — estudar os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty.
Para x\to+\infty é prático dividir numerador e denominador por e^{x} (ou reescrever a função factorizando e^{x}). Reescrevendo:
y(x)=\frac{2 e^{x}}{e^{x}-5}=\frac{2}{1-5e^{-x}}.
Aqui usei que \dfrac{e^{x}}{e^{x}-5}=\dfrac{1}{1-5e^{-x}}. Quando x\to+\infty temos e^{-x}\to 0, então
\lim_{x\to+\infty} y(x)=\frac{2}{1-5\cdot 0}=\frac{2}{1}=2.
Portanto existe uma assíntota horizontal y=2 quando x\to+\infty.

Passo 5

Para x\to-\infty observe diretamente que e^{x}\to 0. Substituindo na expressão original:
  • Numerador: 2e^{x}\to 0.
  • Denominador: e^{x}-5\to -5.
    Logo
\lim_{x\to-\infty} y(x)=\frac{0}{-5}=0.
Portanto existe uma assíntota horizontal y=0 quando x\to-\infty.

Passo 6

Resumo e checagem final: há exatamente uma assíntota vertical em x=\ln 5 (com sinais opostos nas laterais) e duas assíntotas horizontais — uma para cada infinito de x: y=2 quando x\to+\infty e y=0 quando x\to-\infty. Não há necessidade de procurar assíntota oblíqua, porque os limites nas infindades são finitos.

Resposta

Assíntota vertical: x=\ln 5
Assíntota horizontal ( x\to+\infty ): y=2
Assíntota horizontal ( x\to-\infty ): y=0

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