Questão 4) (1 pt) Determina as assíntotas horizontais e verticais da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se determinem as assíntotas horizontais e verticais. Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma razão de exponenciais; o denominador é
. - Pontos a verificar: onde o denominador se anula (possíveis assíntotas verticais) e limites quando
e (assíntotas horizontais).
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: achar o domínio da função, porque assíntotas verticais ocorrem quando o denominador zera. Resolver
significa
Portanto o domínio da função é
ou seja, a função está definida para todo
real exceto em
. Isso indica que
é candidato a assíntota vertical.
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento da função quando
se aproxima de
pelas duas direções, para confirmar a assíntota vertical e o sinal do infinito.
Quando
temos
. O numerador tende a
um número positivo finito. O denominador
tende a zero; o sinal depende do lado:
- Se
então e (pequeno negativo). Assim
- Se
então e (pequeno positivo). Assim
Conclusão: existe uma assíntota vertical em
, com comportamento
pela esquerda e
pela direita.
Passo 4
Agora as assíntotas horizontais — estudar os limites quando
e
.
Para
é prático dividir numerador e denominador por
(ou reescrever a função factorizando
). Reescrevendo:
Aqui usei que
. Quando
temos
, então
Portanto existe uma assíntota horizontal
quando
.
Passo 5
Para
observe diretamente que
. Substituindo na expressão original:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo
Portanto existe uma assíntota horizontal
quando
.
Passo 6
Resumo e checagem final: há exatamente uma assíntota vertical em
(com sinais opostos nas laterais) e duas assíntotas horizontais — uma para cada infinito de
:
quando
e
quando
. Não há necessidade de procurar assíntota oblíqua, porque os limites nas infindades são finitos.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal (
):
Assíntota horizontal (
):