Questão 3) (2 pts) Calcule o limite
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):
- A expressão envolve a função
avaliada em . - Para
a expressão é bem definida; o ponto é apenas o ponto ao qual se aproxima no limite. - Uma propriedade útil que conhecemos da função cosseno e que serve aqui é que, para qualquer argumento real
,
Passo 2
Explicação didática do teorema que vamos usar (Teorema do Confronto / Teorema do Sanduíche):
- Enunciado do teorema: se existem três funções
, e tais que, para todo numa vizinhança de (exceto possivelmente em mesmo),
e se
então existe
e vale
- Intuição simples: se
está sempre “preso” entre e , e as duas extremas vão para o mesmo valor , então também tem que ir para . É como um sanduíche: se o recheio fica sempre entre duas fatias que se juntam, o recheio também é comprimido até o mesmo ponto.
Passo 3
Aplicar a desigualdade básica do cosseno ao nosso caso:
- Sabemos que, para todo
,
- Multiplicando essa desigualdade por
. Observe que para todo , então a direção das desigualdades é preservada ao multiplicar por . Assim obtemos, para todo ,
Passo 4
Calcular os limites das funções que servem de fronteira (as “fatias do sanduíche”):
- A função
é um polinômio e polinômios são contínuos em todo lugar; portanto é válido substituir para obter seu limite. Logo
- Igualmente,
(ou seja, ambos os limites das funções-limite das extremas valem
.)
Passo 5
Aplicar o Teorema do Confronto:
- Temos, para
perto de ,
e já vimos que
- Pelo Teorema do Confronto, a função que está no meio tem o mesmo limite comum das extremas. Assim o limite pedido existe e é o mesmo que esse limite comum.
Passo 6
Observação prática e dica para a prova (didática e motivadora):
- Mesmo que
oscile muito quando (pois o argumento vai para infinito), essa oscilação é limitada entre e . O fator multiplicador tende a zero e “anula” qualquer oscilação limitada — por isso o produto tende a zero. - Exemplo análogo simples:
. Como , tem-se e ; logo o limite é . Mesmo raciocínio, só que com aqui (mais fácil ainda, pois ).