Questão 3) (2 pts) Calcule o limite
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):
  • A expressão envolve a função \cos avaliada em \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Para x\neq 0 a expressão é bem definida; o ponto x=0 é apenas o ponto ao qual x se aproxima no limite.
  • Uma propriedade útil que conhecemos da função cosseno e que serve aqui é que, para qualquer argumento real t,
-1 \le \cos(t) \le 1.

Passo 2

Explicação didática do teorema que vamos usar (Teorema do Confronto / Teorema do Sanduíche):
  • Enunciado do teorema: se existem três funções f(x), g(x) e h(x) tais que, para todo x numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a mesmo),
f(x) \le g(x) \le h(x),
e se
\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L,
então existe \lim_{x\to a} g(x) e vale
\lim_{x\to a} g(x) = L.
  • Intuição simples: se g(x) está sempre “preso” entre f(x) e h(x), e as duas extremas vão para o mesmo valor L, então g(x) também tem que ir para L. É como um sanduíche: se o recheio fica sempre entre duas fatias que se juntam, o recheio também é comprimido até o mesmo ponto.

Passo 3

Aplicar a desigualdade básica do cosseno ao nosso caso:
  • Sabemos que, para todo x\neq 0,
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le 1.
  • Multiplicando essa desigualdade por x^{2}. Observe que x^{2}\ge 0 para todo x, então a direção das desigualdades é preservada ao multiplicar por x^{2}. Assim obtemos, para todo x\neq 0,
- x^{2} \le x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le x^{2}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que servem de fronteira (as “fatias do sanduíche”):
  • A função x^{2} é um polinômio e polinômios são contínuos em todo lugar; portanto é válido substituir x=0 para obter seu limite. Logo
\lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
  • Igualmente,
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = -\,\lim_{x\to 0} x^{2} = -0 = 0.
(ou seja, ambos os limites das funções-limite das extremas valem 0.)

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto:
  • Temos, para x perto de 0,
- x^{2} \le x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le x^{2},
e já vimos que
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
  • Pelo Teorema do Confronto, a função que está no meio tem o mesmo limite comum das extremas. Assim o limite pedido existe e é o mesmo que esse limite comum.

Passo 6

Observação prática e dica para a prova (didática e motivadora):
  • Mesmo que \cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) oscile muito quando x\to 0 (pois o argumento \dfrac{1}{x^{2}} vai para infinito), essa oscilação é limitada entre -1 e 1. O fator multiplicador x^{2} tende a zero e “anula” qualquer oscilação limitada — por isso o produto tende a zero.
  • Exemplo análogo simples: \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right). Como -1\le\sin\le1, tem-se -|x|\le x\sin(1/x)\le |x| e \lim_{x\to 0}|x|=0; logo o limite é 0. Mesmo raciocínio, só que com x^{2} aqui (mais fácil ainda, pois x^{2}\ge 0).

Resposta

0

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