Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Um Exemplo de Integração por Substituição Trigonométricas.
Um Exemplo de Integração por Substituição Trigonométricas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que são integrais e por que elas são tão poderosas em várias áreas da Engenharia e das Ciências Exatas.
A integral definida de uma função f(x) entre os limites a e b, escrita como
, representa geometricamente a área sob a curva de f(x) entre x = a e x = b.
Além da interpretação de área, as integrais aparecem em: – Cálculo de volumes de sólidos de revolução (método dos discos e das cascas cilíndricas). – Trabalho realizado por uma força variável :
. – Centros de massa e momento de inércia. – Resolução de equações diferenciais via método de variáveis separáveis ou de fatores integrantes.
Além da interpretação de área, as integrais aparecem em: – Cálculo de volumes de sólidos de revolução (método dos discos e das cascas cilíndricas). – Trabalho realizado por uma força variável
Passo 2
Agora, vamos ao tópico pedido: um exemplo de integração por substituição trigonométrica. Suponha que queiramos calcular a seguinte integral:
onde
Passo 3
Fazendo a troca de variável: 1. Definimos
, então
. 2. A expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
- Substituindo na integral original:
Passo 5
- Para integrar
, usamos a identidade de ângulo duplo:
Passo 6
- Assim:
Passo 7
- Integramos termo a termo:
Passo 8
Portanto,
Passo 9
- Voltamos à variável x. Sabemos que
e que
Passo 10
- Substituindo de volta:
Passo 11
O segundo termo simplifica para
. Assim,
Passo 12
Pronto! Temos o resultado da integral usando substituição trigonométrica.
Resposta
Um panorama prático das integrais mostra sua utilidade em áreas, volumes, trabalho e muito mais. No exemplo acima, adotamos a substituição trigonométrica
para transformar
numa integral de cosseno ao quadrado, integrável com identidades trigonométricas, chegando a