Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Um Exemplo de Integração por Substituição Trigonométricas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que são integrais e por que elas são tão poderosas em várias áreas da Engenharia e das Ciências Exatas.
A integral definida de uma função f(x) entre os limites a e b, escrita como integrala^b f(x),dx, representa geometricamente a área sob a curva de f(x) entre x = a e x = b.
Além da interpretação de área, as integrais aparecem em: – Cálculo de volumes de sólidos de revolução (método dos discos e das cascas cilíndricas). – Trabalho realizado por uma força variável F(x): W=integrala^b F(x),dx. – Centros de massa e momento de inércia. – Resolução de equações diferenciais via método de variáveis separáveis ou de fatores integrantes.

Passo 2

Agora, vamos ao tópico pedido: um exemplo de integração por substituição trigonométrica. Suponha que queiramos calcular a seguinte integral:
I = integral raiza^2 - x^2,dx,
onde a é uma constante positiva. Essa é a clássica situação em que a substituição x = asin theta simplifica a raiz.

Passo 3

Fazendo a troca de variável: 1. Definimos x = asin theta, então dx = acos theta,dtheta. 2. A expressão dentro da raiz fica:
a^2 - x^2 = a^2 - a^2sin^2theta = a^2(1 - sin^2theta) = a^2cos^2theta

Passo 4

  1. Substituindo na integral original:
I = integral raiza^2cos^2theta,(acostheta,dtheta) = integral (acostheta),(acostheta),dtheta = a^2 integral cos^2theta,dtheta

Passo 5

  1. Para integrar cos^2theta, usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2

Passo 6

  1. Assim:
I = a^2 integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = a^22 integral (1 + cos(2theta)),dtheta

Passo 7

  1. Integramos termo a termo:
integral 1,dtheta = theta, integral cos(2theta),dtheta = sin(2theta)2

Passo 8

Portanto,
I = a^22 l(theta + sin(2theta)2r) + C

Passo 9

  1. Voltamos à variável x. Sabemos que theta = arcsinxa e que
sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2 l(xar) l(raiza^2 - x^2ar) = 2xraiza^2 - x^2a^2

Passo 10

  1. Substituindo de volta:
I = a^22 arcsinl(xar) + a^22 cdot 12 cdot 2xraiza^2 - x^2a^2 + C

Passo 11

O segundo termo simplifica para x2raiza^2 - x^2. Assim,
I = a^22 arcsinl(xar) + x2raiza^2 - x^2 + C

Passo 12

Pronto! Temos o resultado da integral usando substituição trigonométrica.

Resposta

Um panorama prático das integrais mostra sua utilidade em áreas, volumes, trabalho e muito mais. No exemplo acima, adotamos a substituição trigonométrica x = asintheta para transformar integral raiza^2 - x^2,dx numa integral de cosseno ao quadrado, integrável com identidades trigonométricas, chegando a
integral raiza^2 - x^2,dx = a^22 arcsinl(xar) + x2raiza^2 - x^2 + C

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