Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Um Exemplo de Integração por Frações Parciais.

Passo 1

O que são integrais e por que elas importam: integrais são ferramentas que permitem calcular áreas sob curvas, volumes de sólidos de revolução, deslocamento de objetos a partir de uma velocidade variável, entre muitas outras aplicações em engenharia e ciências. Quando falamos de integrais, a gente pode dividir em dois grandes grupos: indefinidas (sem limites, dando uma família de funções) e definidas (com limites, que retornam um número).

Passo 2

Aplicações clássicas de integrais definidas: um uso bem conhecido é determinar a área entre um gráfico y=f(x) e o eixo x, numa janela de x=a até x=b. A fórmula é
A=integrala^b f(x),dx Outra aplicação é calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de f(x) em torno do eixo x, por exemplo, usando o método dos discos:
V=piintegrala^b [f(x)]^2,dx

Passo 3

Quando a integral indefinida envolve uma função racional (relação entre dois polinômios), muitas vezes a gente recorre ao método de frações parciais para quebrar a função em pedaços mais simples cujas primitivas já conhecemos (logaritmos, arctangente, etc.). A ideia principal é decompor
P(x)Q(x)
em somas de termos como
A(x-r)ou
Bx+C(x^2+px+q),
para depois integrar cada parte isoladamente.

Passo 4

Exemplo completo de integração por frações parciais: considere
I=integral 2x+3x^2+x-2,dx Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2+x-2=(x+2)(x-1) Em seguida, escrevemos a decomposição:
2x+3(x+2)(x-1)=Ax+2+Bx-1 Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x-1), obtemos
2x+3 = A(x-1)+B(x+2)

Passo 5

Agora, encontramos A e B de modo simples: para x=1, o lado esquerdo vale 2·1+3=5 e o termo A(x-1) some, sobrando 5=B·3, logo B=5/3. Para x=-2, o lado esquerdo é 2·(−2)+3=−1 e o termo B(x+2) some, ficando −1=A·(−3), ou seja A=1/3.

Passo 6

Com A e B em mãos, voltamos à integral:
I=integral l(1/3x+2+5/3x-1r),dx = 13integral dxx+2 + 53integral dxx-1 As primitivas são logaritmos naturais, então:
I=13ln|x+2| + 53ln|x-1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resumo do exemplo e dicas finais: a estratégia é sempre fatorar o denominador, escrever a soma de frações simples, achar os coeficientes A, B, etc., e então integrar termo a termo usando regras básicas de logaritmo ou arctangente. Esse procedimento se estende a casos com fatores quadráticos irreduzíveis e multiplicidades maiores.

Resposta

Abordamos o que são integrais e suas aplicações em área e volume, vimos quando e por que usar decomposição em frações parciais em integrais de funções racionais, e fizemos passo a passo um exemplo completo:
integral 2x+3x^2+x-2,dx=13ln|x+2| + 53ln|x-1| + C Esse método é fundamental para resolver integrais racionais mais complicadas de forma sistemática.

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