Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Um Exemplo de Integração por Frações Parciais.
Um Exemplo de Integração por Frações Parciais.
Passo 1
O que são integrais e por que elas importam: integrais são ferramentas que permitem calcular áreas sob curvas, volumes de sólidos de revolução, deslocamento de objetos a partir de uma velocidade variável, entre muitas outras aplicações em engenharia e ciências. Quando falamos de integrais, a gente pode dividir em dois grandes grupos: indefinidas (sem limites, dando uma família de funções) e definidas (com limites, que retornam um número).
Passo 2
Aplicações clássicas de integrais definidas: um uso bem conhecido é determinar a área entre um gráfico y=f(x) e o eixo x, numa janela de x=a até x=b. A fórmula é
Passo 3
Quando a integral indefinida envolve uma função racional (relação entre dois polinômios), muitas vezes a gente recorre ao método de frações parciais para quebrar a função em pedaços mais simples cujas primitivas já conhecemos (logaritmos, arctangente, etc.). A ideia principal é decompor
em somas de termos como
para depois integrar cada parte isoladamente.
Passo 4
Exemplo completo de integração por frações parciais: considere
Passo 5
Agora, encontramos A e B de modo simples: para x=1, o lado esquerdo vale 2·1+3=5 e o termo A(x-1) some, sobrando 5=B·3, logo B=5/3. Para x=-2, o lado esquerdo é 2·(−2)+3=−1 e o termo B(x+2) some, ficando −1=A·(−3), ou seja A=1/3.
Passo 6
Com A e B em mãos, voltamos à integral:
onde C é a constante de integração.
Passo 7
Resumo do exemplo e dicas finais: a estratégia é sempre fatorar o denominador, escrever a soma de frações simples, achar os coeficientes A, B, etc., e então integrar termo a termo usando regras básicas de logaritmo ou arctangente. Esse procedimento se estende a casos com fatores quadráticos irreduzíveis e multiplicidades maiores.
Resposta
Abordamos o que são integrais e suas aplicações em área e volume, vimos quando e por que usar decomposição em frações parciais em integrais de funções racionais, e fizemos passo a passo um exemplo completo: