Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Integração por Frações Parciais.

Passo 1

Introdução às integrais: definimos a integral como a soma contínua de infinitesimais que captura área, volume ou grandezas diversas; o teorema fundamental do cálculo conecta derivada e integral.

Passo 2

Aplicações básicas: uso de integrais para calcular área sob curvas, deslocamento a partir de velocidade, trabalho realizado por uma força e volume de sólidos de revolução.

Passo 3

Visão geral de métodos de integração: apresentamos os principais: substituição, partes, trigonométrico e frações parciais, escolhendo cada um conforme a forma do integrando.

Passo 4

Conteúdo de Integração por Frações Parciais: quando o integrando é uma função racional
f(x)=P(x)/Q(x), em que grau de P < grau de Q, decompomos em somatório de frações simples a/(x–r), (Bx+C)/(x^2+px+q) etc.

Passo 5

Passos para decomposição: 1) garantir que o numerador tenha grau menor que o denominador; 2) fatorar Q(x) em polinômios lineares e quadráticos irreducíveis; 3) escrever P(x)/Q(x) como soma de termos A/(x–r) e (Bx+C)/(x^2+px+q); 4) determinar constantes igualando numeradores ou avaliando em raízes.

Passo 6

Exemplo ilustrativo: calcular ∫(3x+5)/(x^2–x–2) dx.
Fatoramos x^2–x–2=(x–2)(x+1). Escrevemos
(3x+5)/(x^2–x–2)=A/(x–2)+B/(x+1). Encontramos A=1 e B=2. Logo
∫(3x+5)/(x^2–x–2)dx=∫[1/(x–2)+2/(x+1)]dx=ln|x–2|+2ln|x+1|+C.

Passo 7

Considerações finais: a integração por frações parciais é poderosa para racionais, permitindo transformar integrais complexas em somas de integrais elementares. Em aplicações práticas, aparece no cálculo de distribuições de probabilidade, circuitos elétricos e modelagem matemática.

Resposta

Veja acima o texto completo sobre integrais e aplicações, incluindo o método de integração por frações parciais.

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