Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Integração por Substituição.
Integração por Substituição.
Passo 1
Introdução às integrais e ao teorema fundamental do cálculo: comece entendendo que a integral indefinida de uma função f(x) é uma outra função F(x) cuja derivada é f(x). Ou seja, se F′(x)=f(x), escrevemos
e o “+C” aparece porque derivada de uma constante é zero. O teorema fundamental do cálculo conecta integrais definidas e derivadas, dizendo que para uma função contínua f em [a,b],
onde F é uma antiderivada de f.
Passo 2
Principais aplicações geometricas e físicas: use integrais definidas para calcular:
• Área sob a curva de f(x) entre x=a e x=b pelo próprio .
• Volume de sólidos de revolução, por exemplo pelo método dos discos:
• Área sob a curva de f(x) entre x=a e x=b pelo próprio
• Volume de sólidos de revolução, por exemplo pelo método dos discos:
• Comprimento de arco de curva y=f(x):
• Trabalho realizado por uma força variável F(x) ao deslocar um objeto de a até b, dado por
.
Passo 3
Integração por substituição – ideia geral: aqui a gente simplifica a integral trocando a variável x por uma outra u=g(x) de forma que a integral fique mais fácil. O passo a passo é:
- Identificar uma parte da função que se pareça com a derivada de outra (por exemplo, reconhecer
multiplicando um termo ). - Fazer a troca
, de modo que . Resolver para : . - Substituir tudo: f(x)dx vira f̃(u)du.
- Se for integral definida, trocar limites de x em limites de u: se x=a então u=g(a), e assim por diante.
- Integrar em u, achar antiderivada em u, e depois voltar para x se for indefinida.
Passo 4
Exemplo de integração por substituição: calcule
- Note que a derivada de
é , que aparece multiplicando o cosseno. Então escolhemos . - Temos
, logo . - A integral fica
- Agora é direto: antiderivada de
é . Logo
- Volta para x:
. Assim
Resposta
O texto abordou o conceito de integral e o teorema fundamental do cálculo, mostrou aplicações geométricas e físicas (área, volume, comprimento de arco e trabalho) e detalhou a técnica de integração por substituição, incluindo um exemplo concreto de como aplicá-la.