Faça um texto sobre Integrais e Aplicações, contendo no mínimo os tópicos abaixo:
Integração por Substituição.

Passo 1

Introdução às integrais e ao teorema fundamental do cálculo: comece entendendo que a integral indefinida de uma função f(x) é uma outra função F(x) cuja derivada é f(x). Ou seja, se F′(x)=f(x), escrevemos
F(x)=integral f(x),dx + C
e o “+C” aparece porque derivada de uma constante é zero. O teorema fundamental do cálculo conecta integrais definidas e derivadas, dizendo que para uma função contínua f em [a,b],
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a)
onde F é uma antiderivada de f.

Passo 2

Principais aplicações geometricas e físicas: use integrais definidas para calcular:
• Área sob a curva de f(x) entre x=a e x=b pelo próprio integrala^b f(x),dx.
• Volume de sólidos de revolução, por exemplo pelo método dos discos:
V=piintegrala^b [f(x)]^2,dx
• Comprimento de arco de curva y=f(x):
L=integrala^b raiz1+[f'(x)]^2,dx
• Trabalho realizado por uma força variável F(x) ao deslocar um objeto de a até b, dado por W=integrala^b F(x),dx.

Passo 3

Integração por substituição – ideia geral: aqui a gente simplifica a integral trocando a variável x por uma outra u=g(x) de forma que a integral fique mais fácil. O passo a passo é:
  1. Identificar uma parte da função que se pareça com a derivada de outra (por exemplo, reconhecer g'(x) multiplicando um termo g(x)).
  2. Fazer a troca u=g(x), de modo que du=g'(x),dx. Resolver para dx: dx=du/g'(x).
  3. Substituir tudo: f(x)dx vira f̃(u)du.
  4. Se for integral definida, trocar limites de x em limites de u: se x=a então u=g(a), e assim por diante.
  5. Integrar em u, achar antiderivada em u, e depois voltar para x se for indefinida.

Passo 4

Exemplo de integração por substituição: calcule
integral 2xcos(x^2+1),dx
  1. Note que a derivada de x^2+1 é 2x, que aparece multiplicando o cosseno. Então escolhemos u=x^2+1.
  2. Temos du=2x,dx, logo 2x,dx=du.
  3. A integral fica
integral 2xcos(x^2+1),dx = integral cos(u),du
  1. Agora é direto: antiderivada de cos(u) é sin(u). Logo
integral cos(u),du = sin(u) + C
  1. Volta para x: sin(u)=sin(x^2+1). Assim
integral 2xcos(x^2+1),dx = sin(x^2+1) + C

Resposta

O texto abordou o conceito de integral e o teorema fundamental do cálculo, mostrou aplicações geométricas e físicas (área, volume, comprimento de arco e trabalho) e detalhou a técnica de integração por substituição, incluindo um exemplo concreto de como aplicá-la.

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