Faça as transformações necessárias
Passo 1
O enunciado pede para converter o número decimal
(vírgula como separador decimal) para base
. Ou seja, encontrar
.
Informações dadas:
- O número decimal é
. - Deve-se obter a representação em binário (base
).
Observação: vou separar a parte inteira (
) da parte fracionária (
) e converter cada uma separadamente, depois juntar os resultados.
Passo 2
Explicação do método (didática, passo a passo, sem pular etapas).
- Conversão da parte inteira (método das divisões sucessivas):
- Para converter um inteiro decimal
para binário, divide-se por , anota-se o resto (que será ou ), e repete-se com o quociente até o quociente ser . - Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos binários do número inteiro (do bit mais significativo ao menos significativo).
- Por que funciona: cada divisão por
remove o bit menos significativo; o resto indica esse bit. É a decomposição do inteiro em potências de .
- Conversão da parte fracionária (método das multiplicações por
):
- Para converter uma fração decimal
com para binário, multiplica-se por ; a parte inteira do resultado (0 ou 1) é o primeiro dígito binário depois da vírgula; toma-se a parte fracionária resultante e repete-se o processo. - Os dígitos obtidos, em ordem, são os bits fracionários
. - Algumas frações decimais não têm representação finita em binário; nesse caso obtém-se uma expansão binária infinita ou repetida. Em prova, costuma-se dar uma aproximação com um número suficiente de bits.
Vou aplicar esses dois métodos em detalhe.
Passo 3
Converter a parte inteira
por divisões sucessivas por
. Vou escrever cada divisão na forma
.
Os restos, do último obtido para o primeiro, são
Lendo esses restos na ordem (do mais significativo para o menos significativo) obtemos a parte inteira em binário:
Passo 4
Converter a parte fracionária
usando multiplicações por
. Vou mostrar as primeiras iterações e os bits obtidos. Em cada passo escrevo
, e o
é o próximo bit.
Assim os primeiros 16 bits fracionários são:
Ou seja,
com precisão até 16 bits fracionários. Observação: a expansão binária não termina (não apareceu fracção zero nas primeiras iterações), logo a representação exata em binário é infinita; por isso damos uma aproximação com reticências.
Passo 5
Montar a representação binária completa juntando parte inteira e parte fracionária (aproximação com 16 bits fracionários):
Passo 6
Verificação rápida (cheia de carinho para te deixar confiante):
- A parte inteira:
, bate certinho. - A parte fracionária com 16 bits:
, que aproxima com erro ~ . Isso mostra que a aproximação de 16 bits é boa para muitas aplicações de prova.