Faça as transformações necessárias
(521,134)_{10}=(?)_{2}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal \,521,134\, (vírgula como separador decimal) para base 2. Ou seja, encontrar \,(521,134)_{10}=(?)_{2}.
Informações dadas:
  • O número decimal é \,521,134\,.
  • Deve-se obter a representação em binário (base 2).
Observação: vou separar a parte inteira ( 521) da parte fracionária ( 0,134) e converter cada uma separadamente, depois juntar os resultados.

Passo 2

Explicação do método (didática, passo a passo, sem pular etapas).
  1. Conversão da parte inteira (método das divisões sucessivas):
  • Para converter um inteiro decimal N para binário, divide-se N por 2, anota-se o resto (que será 0 ou 1), e repete-se com o quociente até o quociente ser 0.
  • Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos binários do número inteiro (do bit mais significativo ao menos significativo).
  • Por que funciona: cada divisão por 2 remove o bit menos significativo; o resto indica esse bit. É a decomposição do inteiro em potências de 2.
  1. Conversão da parte fracionária (método das multiplicações por 2):
  • Para converter uma fração decimal f com 0\le f<1 para binário, multiplica-se f por 2; a parte inteira do resultado (0 ou 1) é o primeiro dígito binário depois da vírgula; toma-se a parte fracionária resultante e repete-se o processo.
  • Os dígitos obtidos, em ordem, são os bits fracionários 2^{-1},2^{-2},\dots.
  • Algumas frações decimais não têm representação finita em binário; nesse caso obtém-se uma expansão binária infinita ou repetida. Em prova, costuma-se dar uma aproximação com um número suficiente de bits.
Vou aplicar esses dois métodos em detalhe.

Passo 3

Converter a parte inteira 521 por divisões sucessivas por 2. Vou escrever cada divisão na forma \text{dividendo} = 2\cdot\text{quociente} + \text{resto}.
521 = 2\cdot260 + 1
260 = 2\cdot130 + 0
130 = 2\cdot65 + 0
65 = 2\cdot32 + 1
32 = 2\cdot16 + 0
16 = 2\cdot8 + 0
8 = 2\cdot4 + 0
4 = 2\cdot2 + 0
2 = 2\cdot1 + 0
1 = 2\cdot0 + 1
Os restos, do último obtido para o primeiro, são
1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;1.
Lendo esses restos na ordem (do mais significativo para o menos significativo) obtemos a parte inteira em binário:
(521)_{10} = (1000001001)_{2}.

Passo 4

Converter a parte fracionária \,0,134\, usando multiplicações por 2. Vou mostrar as primeiras iterações e os bits obtidos. Em cada passo escrevo \text{valor atual}\cdot 2 = \text{inteiro} + \text{frac}, e o \text{inteiro} é o próximo bit.
0,134\cdot2 = 0,268 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_1 = 0
0,268\cdot2 = 0,536 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_2 = 0
0,536\cdot2 = 1,072 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_3 = 1 \quad(\text{nova frac }0,072)
0,072\cdot2 = 0,144 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_4 = 0
0,144\cdot2 = 0,288 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_5 = 0
0,288\cdot2 = 0,576 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_6 = 0
0,576\cdot2 = 1,152 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_7 = 1 \quad(\text{nova frac }0,152)
0,152\cdot2 = 0,304 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_8 = 0
0,304\cdot2 = 0,608 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_9 = 0
0,608\cdot2 = 1,216 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{10} = 1 \quad(\text{nova frac }0,216)
0,216\cdot2 = 0,432 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{11} = 0
0,432\cdot2 = 0,864 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{12} = 0
0,864\cdot2 = 1,728 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{13} = 1 \quad(\text{nova frac }0,728)
0,728\cdot2 = 1,456 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{14} = 1 \quad(\text{nova frac }0,456)
0,456\cdot2 = 0,912 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{15} = 0
0,912\cdot2 = 1,824 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_{16} = 1 \quad(\text{nova frac }0,824)
Assim os primeiros 16 bits fracionários são:
\text{frac\_bits} = 0\,0\,1\,0\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,1\,0\,1.
Ou seja,
(0,134)_{10}\approx(0,0010001001001101)_{2}
com precisão até 16 bits fracionários. Observação: a expansão binária não termina (não apareceu fracção zero nas primeiras iterações), logo a representação exata em binário é infinita; por isso damos uma aproximação com reticências.

Passo 5

Montar a representação binária completa juntando parte inteira e parte fracionária (aproximação com 16 bits fracionários):
(521,134)_{10}\approx(1000001001,0010001001001101\ldots)_{2}.

Passo 6

Verificação rápida (cheia de carinho para te deixar confiante):
  • A parte inteira: (1000001001)_{2}=2^{9}+2^{3}+2^{0}=512+8+1=521, bate certinho.
  • A parte fracionária com 16 bits: (0,0010001001001101)_{2}=2^{-3}+2^{-7}+2^{-10}+2^{-13}+2^{-14}+2^{-16}\approx0,1339874268, que aproxima 0,134 com erro ~ 1{,}26\times10^{-5}. Isso mostra que a aproximação de 16 bits é boa para muitas aplicações de prova.

Resposta

(1000001001,0010001001001101\ldots)_{2}

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