Uma face de uma placa delgada está exposta a um fluxo uniforme de calor de 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, e a outra face dissipa calor radiante para um ambiente a -10^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura da placa. Admita comportamento de corpo negro para a radiação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar literalmente os dados relevantes, sem resolver nada ainda):
  • Fluxo uniforme incidente numa face da placa: \,q_{\mathrm{in}} = 500\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • A outra face da placa dissipa calor por radiação para um ambiente à temperatura -10^\circ\mathrm{C}.
  • Admitir comportamento de corpo negro (emissividade \varepsilon=1) para a radiação.
  • A placa é delgada (assumir temperatura uniforme através da espessura).
    O que se pede:
  • Determinar a temperatura de equilíbrio da placa, isto é, a temperatura \,T (em kelvin e/ou graus Celsius) para a qual o fluxo recebido é balanceado pela radiação emitida.

Passo 2

Conceitos e a equação física que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • Para um corpo negro a potência radiada por unidade de área (emissiva) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
E = \sigma\,T^4,
onde:
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},
  • \,T é a temperatura absoluta do corpo em kelvin.
  • Quando um corpo (a placa) troca radiação com um ambiente grande que pode ser aproximado por corpo negro à temperatura \,T_{\mathrm{amb}}, o fluxo radiativo líquido que sai da placa é
q_{\mathrm{rad}}=\sigma\bigl(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4\bigr).
Explicação curta: a placa emite \sigma T^4 e recebe da vizinhança \sigma T_{\mathrm{amb}}^4; o líquido é a diferença.
  • Em regime estacionário (equilíbrio térmico) e assumindo que a única entrada de energia é \,q_{\mathrm{in}} numa face e a única perda é a radiação pela outra face, a conservação de energia dá:
q_{\mathrm{in}} = q_{\mathrm{rad}} = \sigma\bigl(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4\bigr).
Aqui definimos as variáveis:
  • \,q_{\mathrm{in}} é o fluxo térmico recebido ( \mathrm{W\,m^{-2}}),
  • \,T é a temperatura desconhecida da placa (K),
  • \,T_{\mathrm{amb}} é a temperatura do ambiente em kelvin.

Passo 3

Colocar números e reorganizar a equação para resolver \,T.
  • Converter a temperatura ambiente para kelvin:
T_{\mathrm{amb}} = -10^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 - 10 = 263{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Escrever a equação do balanço e isolar T^4:
q_{\mathrm{in}} = \sigma\bigl(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T^4 = \frac{q_{\mathrm{in}}}{\sigma} + T_{\mathrm{amb}}^4.
  • Substituir os valores numéricos:
\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}, \qquad q_{\mathrm{in}} = 500\\ \mathrm{W\,m^{-2}}, \qquad T_{\mathrm{amb}} = 263{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular T_{\mathrm{amb}}^4. Primeiro \,T_{\mathrm{amb}}^2:
T_{\mathrm{amb}}^2 = 263{,}15^2 = 69\,247{,}9225\\ \mathrm{K^2}.
Então
T_{\mathrm{amb}}^4 = \bigl(69\,247{,}9225\bigr)^2 \approx 4{,}7969\times10^{9}\\ \mathrm{K^4}.
  • Calcular \dfrac{q_{\mathrm{in}}}{\sigma}:
\frac{q_{\mathrm{in}}}{\sigma} = \frac{500}{5{,}670374419\times10^{-8}} \approx 8{,}819\times10^{9}.
  • Somar os termos para obter T^4:
T^4 \approx 8{,}819\times10^{9} + 4{,}7969\times10^{9} = 1{,}3619\times10^{10}.

Passo 4

Extrair a raiz quarta e converter para graus Celsius (passo a passo, sem pular etapas).
  • Obter T fazendo a raiz quarta. Uma forma prática: tirar a raiz quadrada duas vezes.
    • Primeiro \sqrt{T^4} = T^2 = \sqrt{1{,}3619\times10^{10}} \approx 1{,}1660\times10^{5}.
    • Depois \sqrt{T^2} = T = \sqrt{1{,}1660\times10^{5}} \approx 341{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius:
T_{\mathrm{(^\circ C)}} = T - 273{,}15 \approx 341{,}7 - 273{,}15 = 68{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Comentário didático rápido: o número final foi arredondado a uma casa decimal por consistência com os dados originais; mantém-se a ordem de grandeza e precisão prática para uma prova.

Passo 5

Observações finais (o que significam as hipóteses e quando mudar a equação).
  • Foi assumido regime estacionário (equilíbrio) e que a placa é suficientemente delgada/condutora para ter temperatura praticamente uniforme através da espessura.
  • Foi assumido que só a face oposta à que recebe o fluxo troca radiação com o ambiente (ou seja, todo o calor enviado por q_{\mathrm{in}} sai por radiação dessa face). Se ambas as faces radiasssem simultaneamente para o ambiente, a equação teria um fator 2 no lado radiativo: q_{\mathrm{in}} = 2\sigma(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4), o que reduziria a temperatura encontrada.
  • Também foi assumido fator de vista (F=1) entre a face radiadora e o ambiente e emissividade \varepsilon=1. Se \varepsilon<1 ou F<1, a perda radiativa seria menor e a temperatura de equilíbrio seria maior.
  • Você está indo bem — essa é a ideia central: equilibrar entrada e saída de energia, usar Stefan–Boltzmann e lembrar de trabalhar sempre em kelvin para potências radiativas.

Resposta

T \approx 341{,}7\\ \mathrm{K} \approx 68{,}6^\circ\mathrm{C}

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