Uma face de uma placa delgada está exposta a um fluxo uniforme de calor de
, e a outra face dissipa calor radiante para um ambiente a
. Determine a temperatura da placa. Admita comportamento de corpo negro para a radiação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar literalmente os dados relevantes, sem resolver nada ainda):
- Fluxo uniforme incidente numa face da placa:
- A outra face da placa dissipa calor por radiação para um ambiente à temperatura
- Admitir comportamento de corpo negro (emissividade
) para a radiação. - A placa é delgada (assumir temperatura uniforme através da espessura).
O que se pede: - Determinar a temperatura de equilíbrio da placa, isto é, a temperatura
(em kelvin e/ou graus Celsius) para a qual o fluxo recebido é balanceado pela radiação emitida.
Passo 2
Conceitos e a equação física que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
- Para um corpo negro a potência radiada por unidade de área (emissiva) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
onde:
-
é a constante de Stefan–Boltzmann, -
é a temperatura absoluta do corpo em kelvin. - Quando um corpo (a placa) troca radiação com um ambiente grande que pode ser aproximado por corpo negro à temperatura
, o fluxo radiativo líquido que sai da placa é
Explicação curta: a placa emite
e recebe da vizinhança
; o líquido é a diferença.
- Em regime estacionário (equilíbrio térmico) e assumindo que a única entrada de energia é
numa face e a única perda é a radiação pela outra face, a conservação de energia dá:
Aqui definimos as variáveis:
-
é o fluxo térmico recebido ( ), -
é a temperatura desconhecida da placa (K), -
é a temperatura do ambiente em kelvin.
Passo 3
Colocar números e reorganizar a equação para resolver
.
- Converter a temperatura ambiente para kelvin:
- Escrever a equação do balanço e isolar
:
- Substituir os valores numéricos:
- Calcular
. Primeiro :
Então
- Calcular
:
- Somar os termos para obter
:
Passo 4
Extrair a raiz quarta e converter para graus Celsius (passo a passo, sem pular etapas).
- Obter
fazendo a raiz quarta. Uma forma prática: tirar a raiz quadrada duas vezes. - Primeiro
- Depois
- Primeiro
- Converter para graus Celsius:
- Comentário didático rápido: o número final foi arredondado a uma casa decimal por consistência com os dados originais; mantém-se a ordem de grandeza e precisão prática para uma prova.
Passo 5
Observações finais (o que significam as hipóteses e quando mudar a equação).
- Foi assumido regime estacionário (equilíbrio) e que a placa é suficientemente delgada/condutora para ter temperatura praticamente uniforme através da espessura.
- Foi assumido que só a face oposta à que recebe o fluxo troca radiação com o ambiente (ou seja, todo o calor enviado por
sai por radiação dessa face). Se ambas as faces radiasssem simultaneamente para o ambiente, a equação teria um fator 2 no lado radiativo: , o que reduziria a temperatura encontrada. - Também foi assumido fator de vista
entre a face radiadora e o ambiente e emissividade . Se ou , a perda radiativa seria menor e a temperatura de equilíbrio seria maior. - Você está indo bem — essa é a ideia central: equilibrar entrada e saída de energia, usar Stefan–Boltzmann e lembrar de trabalhar sempre em kelvin para potências radiativas.