FACULDADE DE ENG^ ELÉTRICA E ENG^ BIOMÉDICA DA UFPA CIRCUITOS ELETRICOS I - TERCEIRA AVALIAÇÃO - 2024-4
A equação diferencial de um circuito de segunda ordem, alimentado por uma tensão senoidal, foi encontrada como sendo:
d v^2d t^2+2 d vd t+5 v=4 cos (1000 t+20^circ)
Onde v é a tensão em um dos elementos do circuito. Encontre: (a) a resposta natural desse circuito em função de duas constantes e responda se ele é superamortecido, sub amortecido, criticamente amortecido ou instável; (b) o fator de amortecimento e a frequência de ressonância do circuito e responda se ele está em ressonância; © A resposta forçada do circuito em função de duas constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão deu uma EDO de 2º ordem
d^2vdt^2+2,dvdt+5,v=4cosl(1000t+20^circr)
e pede três coisas:
(a) a resposta natural (solução homogênea) e classificação de amortecimento;
(b) o fator de amortecimento ζ e a frequência de ressonância, e dizer se está em ressonância;
© a resposta forçada (solução particular) em função de duas constantes.
Conteúdo principal: equações diferenciais lineares de 2ª ordem, característica, amortecimento e método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Solução homogênea (resposta natural)
  1. Escrevo a equação característica trocando d^2vdt^2to s^2, dvdtto s, vto1:
s^2 + 2s + 5 = 0
2) Uso a fórmula de Bhaskara:
$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4\cdot1\cdot5}}{2}
  = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}  
  = -1 \pm j2.$$  
Como as raízes são complexas conjugadas com parte real negativa, a solução homogênea é
s = -2 pm raiz2^2 -4cdot1cdot52 = -2 pm raiz-162 = -1 pm j2
onde vn(t)=e^-tl(Acos2t + Bsin2tr), e A são constantes definidas pelas condições iniciais.
Classificação: como B e o termo real De, é subamortecido.

Passo 3

Fator de amortecimento ζ e frequência natural ωₙ, frequê ncia de ressonância ωᵣ
A forma padrão é
s^2+2ζωn s + ωn^2=0
Comparando com s^2+2s+5=0
ωn^2 = 5Rightarrow ωn=raiz5,
2ζωn = 2Rightarrow ζ=22raiz5=1raiz5approx0,447<1
Como ζ<1, confirma subamortecido.
A frequência de pico (ressonância do sistema) é
ωr = ωnraiz1-2ζ^2 = raiz5raiz1-tfrac25 = raiz5,raiztfrac35 = raiz3approx1,732 rad/s
Mas a fonte opera a ω=1000,rad/s, muito longe de 1,732,. Logo não está em ressonância.

Passo 4

Resposta forçada por método dos coeficientes (undetermined coefficients)
Assumimos
vp(t)=Ccos(1000t)+Dsin(1000t)
Derivadas:
dvpdt=-1000Csin1000t +1000Dcos1000t,
d^2vpdt^2=-1000^2Ccos1000t -1000^2Dsin1000t
Substituindo em
$$v’’+2v’+5v=4\cos(1000t+20^\circ)
=4\cos20^\circ\cos1000t -4\sin20^\circ\sin1000t, v''+2v'+5v=4cos(1000t+20^circ) =4cos20^circcos1000t -4sin20^circsin1000t,(-1000^2C)+2(1000D)+5C =4\cos20^\circ,$$
eq. em cos1000t:
(-1000^2C)+2(1000D)+5C =4cos20^circ,
Ou seja
sin1000t
Resolvendo (by Crammer ou álgebra), obtemos
(-1000^2D)-2(1000C)+5D =-4sin20^circ

Resposta

Natural (homogênea):
vn(t)=e^-tl(Acos2t+Bsin2tr),subamortecido
Parâmetros:
ωn=raiz5, ζ=tfrac1raiz5, ωr=raiz3(sem ressonância a 1000)â
Forçada (particular):
vp(t)=Ccos1000t + Dsin1000t,
com
C = 4(-999995cos20^circ +2000sin20^circ)(999995)^2 +2000^2, D = 4(999995sin20^circ -2000cos20^circ)(999995)^2 +2000^2

Exercícios relacionados