FACULDADE DE ENG^ ELÉTRICA E ENG^ BIOMÉDICA DA UFPA CIRCUITOS ELETRICOS I - TERCEIRA AVALIAÇÃO - 2024-4
A equação diferencial de um circuito de segunda ordem, alimentado por uma tensão senoidal, foi encontrada como sendo:
Onde
é a tensão em um dos elementos do circuito. Encontre: (a) a resposta natural desse circuito em função de duas constantes e responda se ele é superamortecido, sub amortecido, criticamente amortecido ou instável; (b) o fator de amortecimento e a frequência de ressonância do circuito e responda se ele está em ressonância; © A resposta forçada do circuito em função de duas constantes.
A equação diferencial de um circuito de segunda ordem, alimentado por uma tensão senoidal, foi encontrada como sendo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão deu uma EDO de 2º ordem
e pede três coisas:
(a) a resposta natural (solução homogênea) e classificação de amortecimento;
(b) o fator de amortecimento ζ e a frequência de ressonância, e dizer se está em ressonância;
© a resposta forçada (solução particular) em função de duas constantes.
Conteúdo principal: equações diferenciais lineares de 2ª ordem, característica, amortecimento e método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Solução homogênea (resposta natural)
- Escrevo a equação característica trocando
, , :
2) Uso a fórmula de Bhaskara:
$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4\cdot1\cdot5}}{2}
= \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}
= -1 \pm j2.$$
Como as raízes são complexas conjugadas com parte real negativa, a solução homogênea é
onde
Classificação: como
Passo 3
Fator de amortecimento ζ e frequência natural ωₙ, frequê ncia de ressonância ωᵣ
A forma padrão é
A forma padrão é
Comparando com
Como
A frequência de pico (ressonância do sistema) é
Mas a fonte opera a
rad/s, muito longe de
. Logo não está em ressonância.
Passo 4
Resposta forçada por método dos coeficientes (undetermined coefficients)
Assumimos
Assumimos
Derivadas:
Substituindo em
$$v’’+2v’+5v=4\cos(1000t+20^\circ)
=4\cos20^\circ\cos1000t -4\sin20^\circ\sin1000t,
(-1000^2C)+2(1000D)+5C =4\cos20^\circ,$$
eq. em
:
Ou seja
Resolvendo (by Crammer ou álgebra), obtemos
Resposta
Natural (homogênea):
Parâmetros:
Forçada (particular):
com