A faculdade Pitágoras deseja realizar uma pesquisa de opinião sobre a qualidade de um curso que tem cerca de 700 alunos, perguntando aspectos relativos ao encadeamento das disciplinas no currículo. Suponha um erro amostral tolerável de 3% no estudo.
Escolha a opção mais apropriada para o tipo de amostragem e qual o tamanho da amostra:

Escolha uma opção:

  • a. Amostragem aleatória simples com \mathrm{n}=1111
  • b. Amostragem estratificada com \mathrm{n}=1111
  • c. Amostragem por julgamento com \mathrm{n}=249
  • d. Amostragem aleatória simples com \mathrm{n}=429
  • e. Amostragem estratificada com \mathrm{n}=249

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma escolha sobre tipo de amostragem e tamanho da amostra:
  • População aproximada: N=700 alunos.
  • Erro amostral tolerável: e=3\% = 0,03.
  • Pede escolher entre as opções fornecidas (tipos de amostragem e valores de \mathrm{n}).
    As perguntas implícitas são:
  • Qual o tipo de amostragem mais apropriado para essa pesquisa de opinião?
  • Qual o tamanho da amostra correspondente ao erro tolerável dado?

Passo 2

Breve comentário sobre os tipos de amostragem concorrentes (para decidir qual usar):
  • Amostragem aleatória simples: cada aluno tem mesma chance de ser escolhido; é adequada quando não há informação prévia de subgrupos relevantes ou quando se quer estimativa imparcial da população inteira.
  • Amostragem estratificada: útil quando existem estratos claramente definidos (ex.: cursos, períodos, turmas) e se quer garantir representação proporcional de cada estrato; reduziria variância se os estratos forem homogêneos internamente.
  • Amostragem por julgamento: não probabilística, baseada em escolha subjetiva; não é indicada para obter estimativas com margem de erro estatística confiável.
    Aqui não foi fornecida informação sobre estratos (por ex., números por período), então a escolha mais apropriada, para uma pesquisa geral de opinião e para as alternativas dadas, é a amostragem aleatória simples.

Passo 3

Fórmula básica usada para amostragem de proporção (população grande / população infinita):
n_0 = \frac{Z^2\,p(1-p)}{e^2}
Explicando cada símbolo:
  • n_0 é o tamanho de amostra inicial (assumindo população muito grande).
  • Z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (ex.: para 95\% costuma-se usar Z=1,96).
  • p é a proporção esperada na população para a característica estudada; se desconhecida, usa-se p=0,5 (caso conservador que maximiza a variância e, assim, garante a amostra suficiente).
  • e é o erro amostral tolerável (aqui e=0,03).
Observação didática rápida: tomar p=0,5 é uma escolha segura quando não se tem ideia da proporção verdadeira; ela produz a maior variância p(1-p)=0,25 e, portanto, amostra maior.

Passo 4

Escolha do Z: o nível de confiança usual é 95\%, para o qual Z=1,96. Entretanto, muitas questões e tabelas didáticas usam a aproximação Z\approx2 para facilitar contas e porque produz resultados muito próximos. Como as opções fornecidas na questão contêm valores que se obtêm com a aproximação Z=2, vou calcular com Z=2 (mostro também o cálculo com Z=1,96 para comparação).
Cálculo com Z=2, p=0,5, e=0,03:
n_0 = \frac{2^2 \cdot 0,5\cdot(1-0,5)}{0,03^2} = \frac{4 \cdot 0,25}{0,0009} = \frac{1}{0,0009} = 1111{,}111\ldots
Logo n_0\approx 1111{,}11. (Esse número aparece nas opções como \mathrm{n}=1111.)
Cálculo com Z=1,96 apenas para referência:
n_0 = \frac{1{,}96^2 \cdot 0,25}{0,0009} = \frac{3{,}8416 \cdot 0,25}{0,0009} = \frac{0{,}9604}{0,0009} \approx 1067{,}11.
Esse valor levaria, após correção por população finita, a uma amostra por volta de 423 424, que não aparece exatamente nas opções.

Passo 5

Aplicar a correção para população finita (pois N=700 não é muito grande). Fórmula:
n = \frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1}
Substituindo N=700 e n_0=1111{,}111\ldots:
n = \frac{700 \times 1111{,}111\ldots}{700 + 1111{,}111\ldots - 1} = \frac{777777{,}7}{1810{,}111\ldots} \approx 429{,}5.
Arredondando para um número inteiro de amostras, obtém-se aproximadamente \mathrm{n}=429. (Em contextos práticos costuma-se arredondar para cima para garantir que o erro efetivo não exceda o tolerável; aqui a opção disponível é 429.)
Só para comparar: se tivéssemos usado Z=1{,}96 e n_0\approx1067{,}11, a correção finita daria
n \approx \frac{700 \times 1067{,}11}{700 + 1067{,}11 - 1} \approx 423{,}2 \Rightarrow 424,
valor próximo, mas a única opção compatível nas alternativas é \mathrm{n}=429.

Passo 6

Conclusão e justificativa final:
  • Tipo de amostragem: amostragem aleatória simples, pois não há informação fornecida sobre estratos e porque se deseja uma estimativa imparcial da população inteira.
  • Tamanho da amostra: com a escolha conservadora p=0,5, margem e=0,03 e aproximação Z\approx2 (procedimento comum em exames e exercícios), a correção para população finita dá \mathrm{n}\approx429, que corresponde à opção disponível.
Vai dar certo — essa é a opção que melhor condiz com os cálculos e com as alternativas fornecidas.

Resposta

d. Amostragem aleatória simples com \mathrm{n}=429

Exercícios relacionados