Considere as afirmativas abaixo:
  1. A variável aleatória que modela o problema é o altitude de abertura.
    II) A variável aleatória que modela o problema é o número de paraquedas danificados.
    III) A chance de ter um paraquedas danificado pela baixa altitude é maior que 1 \%.
    IV) O valor z utilizado para este problema na tabela normal é 3,33.
Qual a opção CORRETA?
Escolha uma opção:
Q a. As sentenças I I e I V estão corretas.
O b. As sentenças I e III estão corretas.
  • c. As sentenças I e I V estão corretas.
O d. As sentenças I I e I I I estão corretas.
O e. As sentenças I, I I I e I V estão corretas.
O dispositivo de abertura de um paraquedas foi projetado para abrir quando estiver a 200 m do solo. Se o paraquedas abrir em altitude inferior a 100 m , haverá dano ao equipamento. Suponha que a altitude de abertura tenha distribuição normal com média de 200 m e desvio-padrão de 30 m .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e quais sentenças temos que avaliar (copiei as sentenças do enunciado):
  • Dados do enunciado:
    • O dispositivo abre quando estiver a 200\\ \text{m} do solo, isto é, a média da abertura é 200\\ \text{m}.
    • Se o paraquedas abrir em altitude inferior a 100\\ \text{m} haverá dano.
    • A altitude de abertura tem distribuição normal com média \mu=200\\ \text{m} e desvio-padrão \sigma=30\\ \text{m}.
  • Sentenças a avaliar:
    1. A variável aleatória que modela o problema é o altitude de abertura.
      II. A variável aleatória que modela o problema é o número de paraquedas danificados.
      III. A chance de ter um paraquedas danificado pela baixa altitude é maior que 1\%.
      IV. O valor z utilizado para este problema na tabela normal é 3,33.
O objetivo: decidir quais dessas sentenças são corretas, e então escolher a opção correta entre as dadas.

Passo 2

Entender qual variável estamos modelando e por quê (explicação didática).
  • O enunciado diz explicitamente: “a altitude de abertura tenha distribuição normal com média 200 m e desvio-padrão 30 m.” Isso significa que a variável aleatória primária que o problema descreve é a altitude de abertura. Denotamos essa variável por X.
  • O que significa dizer que X é normal com média \mu e desvio \sigma? Significa que X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2),onde \mu é o valor médio esperado de X (a tendência central) e \sigma mede a dispersão típica dos valores em torno da média. Aqui \mu=200 e \sigma=30.
  • Conclusão imediata: a sentença I (“a variável aleatória que modela o problema é a altitude de abertura”) está correta, porque o enunciado definiu exatamente isso.

Passo 3

Por que a sentença II (“a variável aleatória que modela o problema é o número de paraquedas danificados”) está incorreta?
  • O enunciado não definiu o número de paraquedas danificados como variável aleatória; definiu a altitude de abertura X.
  • O número de paraquedas danificados seria uma variável diferente (por exemplo, se houvesse várias aberturas independentes, esse número poderia ser modelado por uma distribuição binomial). Mas nada no enunciado disse que estamos modelando isso diretamente.
  • Portanto a sentença II é falsa: a variável aleatória que modela o problema é X (altitude), não o número de paraquedas danificados.

Passo 4

Calcular a probabilidade de dano (isso serve para avaliar a sentença III).
  • Dano ocorre quando a altitude de abertura X é menor que 100\\ \text{m}. Então o evento de interesse é X<100.
  • Para uma normal, padronizamos usando a transformação Z=\frac{X-\mu}{\sigma},onde Z segue a normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1). Isso permite usar a tabela da normal padrão.

Passo 5

Calcular o valor de z correspondente a X=100.
  • Aplicando a fórmula: z=\frac{100-200}{30}=\frac{-100}{30}=-\frac{10}{3}\approx-3{,}333\ldots
  • Em muitas tabelas de normal usa-se o valor positivo para consulta (pela simetria). O valor absoluto é |z|\approx 3{,}33. Assim a sentença IV afirmando que o valor z utilizado na tabela é 3{,}33 está compatível com o fato de que a padronização deu -3{,}333\ldots e, para consulta na tabela, usa-se 3{,}33. Portanto IV é verdadeira (explicação completa em passo seguinte).

Passo 6

Usar a simetria da normal para achar P(X<100).
  • Queremos P(X<100)=P\!\left(Z<-\tfrac{10}{3}\right).
  • Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-a)=1-\Phi(a),onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Então P(X<100)=\Phi\!\left(-\tfrac{10}{3}\right)=1-\Phi\!\left(\tfrac{10}{3}\right).
  • Consultando uma tabela da normal padrão para z=3{,}33 (ou usando calculadora), obtém-se aproximadamente \Phi(3{,}33)\approx 0{,}999571.Assim P(X<100)=1-0{,}999571\approx 0{,}000429.Em porcentagem isso é aproximadamente 0{,}0429\%.

Passo 7

Interpretar o valor encontrado e verificar a sentença III.
  • Encontramos P(\text{dano})=P(X<100)\approx 0{,}000429, que em porcentagem é cerca de 0{,}0429\%.
  • A sentença III dizia: “A chance de ter um paraquedas danificado pela baixa altitude é maior que 1\%.”
  • Comparando: 0{,}0429\% < 1\%. Logo a sentença III é falsa.

Passo 8

Revisão final das quatro sentenças:
  • I: verdadeira (o enunciado modela a altitude de abertura como variável aleatória).
  • II: falsa (o enunciado não modela o número de paraquedas danificados como variável; isso seria outra variável).
  • III: falsa (a probabilidade de dano é aproximadamente 0{,}0429\%, muito menor que 1\%).
  • IV: verdadeira (o valor padronizado em módulo é |z|\approx 3{,}33, que é o valor usado na tabela).
Portanto as sentenças corretas são I e IV.

Resposta

c. As sentenças I e IV estão corretas.

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