1. Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas, com 4 matérias em cada dia. Este ano a divisão foi: Matemática, Português, Biologia e Inglês, no primeiro dia e Geografia, História, Física e Química, no segundo dia. De quantos modos pode ser feito o calendário de provas?

Passo 1

O enunciado pergunta: de quantos modos pode ser feito o calendário de provas, sabendo que houve dois dias de provas e que a divisão de matérias foi a seguinte: no primeiro dia estão as matérias Matemática, Português, Biologia e Inglês; no segundo dia estão Geografia, História, Física e Química.
Informações relevantes dadas:
  • No primeiro dia há exatamente 4 matérias (listas dadas).
  • No segundo dia há exatamente 4 matérias (listas dadas).
  • Queremos contar todas as formas possíveis de organizar o calendário — isto é, todas as ordens possíveis das matérias em cada dia.

Passo 2

Conceito necessário 1 — permutação e fatorial: quando temos n objetos distintos e queremos colocá-los em ordem (uma sequência), o número de ordens possíveis é chamado de permutação de n elementos e é dado por n! (lê-se “ n fatorial”). O fatorial é definido como
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1.
Explicando por que: para escolher a sequência, para a primeira posição há n opções, para a segunda restam n-1, e assim por diante, multiplicando todas essas escolhas.

Passo 3

Aplicando ao primeiro dia: temos 4 matérias distintas a ordenar. Logo o número de ordens possíveis no primeiro dia é
4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Calculemos passo a passo:
4\cdot 3 = 12,\quad 12\cdot 2 = 24,\quad 24\cdot 1 = 24.
Portanto há 24 ordens possíveis para o primeiro dia.

Passo 4

Aplicando ao segundo dia: o raciocínio é idêntico (são 4 matérias distintas também). Então o número de ordens possíveis no segundo dia é igualmente
4! = 24.

Passo 5

Princípio multiplicativo (ou regra do produto): se uma escolha pode ser feita de a modos e, independentemente, outra escolha pode ser feita de b modos, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b modos. Aqui as ordens do primeiro dia e as ordens do segundo dia são escolhas independentes (qualquer ordem do primeiro dia pode combinar com qualquer ordem do segundo dia). Assim o número total de calendários é
4!\times 4! = 24\times 24.

Passo 6

Exemplo pequeno para fixar: se cada dia tivesse só 2 matérias, cada dia teria 2! = 2 ordens e o total seria 2!\times 2! = 2\times 2 = 4 calendários. Isso ilustra a aplicação direta do princípio multiplicativo.

Resposta

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