- Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas, com 4 matérias em cada dia. Este ano a divisão foi: Matemática, Português, Biologia e Inglês, no primeiro dia e Geografia, História, Física e Química, no segundo dia. De quantos modos pode ser feito o calendário de provas?
Passo 1
O enunciado pergunta: de quantos modos pode ser feito o calendário de provas, sabendo que houve dois dias de provas e que a divisão de matérias foi a seguinte: no primeiro dia estão as matérias Matemática, Português, Biologia e Inglês; no segundo dia estão Geografia, História, Física e Química.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- No primeiro dia há exatamente
matérias (listas dadas). - No segundo dia há exatamente
matérias (listas dadas). - Queremos contar todas as formas possíveis de organizar o calendário — isto é, todas as ordens possíveis das matérias em cada dia.
Passo 2
Conceito necessário 1 — permutação e fatorial: quando temos
objetos distintos e queremos colocá-los em ordem (uma sequência), o número de ordens possíveis é chamado de permutação de
elementos e é dado por
(lê-se “
fatorial”). O fatorial é definido como
Explicando por que: para escolher a sequência, para a primeira posição há
opções, para a segunda restam
, e assim por diante, multiplicando todas essas escolhas.
Passo 3
Aplicando ao primeiro dia: temos
matérias distintas a ordenar. Logo o número de ordens possíveis no primeiro dia é
Calculemos passo a passo:
Portanto há
ordens possíveis para o primeiro dia.
Passo 4
Aplicando ao segundo dia: o raciocínio é idêntico (são
matérias distintas também). Então o número de ordens possíveis no segundo dia é igualmente
Passo 5
Princípio multiplicativo (ou regra do produto): se uma escolha pode ser feita de
modos e, independentemente, outra escolha pode ser feita de
modos, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de
modos. Aqui as ordens do primeiro dia e as ordens do segundo dia são escolhas independentes (qualquer ordem do primeiro dia pode combinar com qualquer ordem do segundo dia). Assim o número total de calendários é
Passo 6
Exemplo pequeno para fixar: se cada dia tivesse só
matérias, cada dia teria
ordens e o total seria
calendários. Isso ilustra a aplicação direta do princípio multiplicativo.