Quantas diagonais possui:
um octaedro regular?
um octaedro regular?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas diagonais possui um octaedro regular?”\n
Informações relevantes que vamos usar (dados sobre o octaedro regular): \n
Informações relevantes que vamos usar (dados sobre o octaedro regular): \n
- número de vértices:
\n - número de arestas:
\n
(essas são propriedades padrão do octaedro regular; vou usá‑las na resolução)
Passo 2
O que é uma diagonal nesse contexto? \n
Definição que usaremos: uma diagonal é um segmento que une dois vértices que não são ligados por uma aresta. Ou seja, de todas as formas de ligar dois vértices, as que são arestas não contam; as restantes são diagonais.
Definição que usaremos: uma diagonal é um segmento que une dois vértices que não são ligados por uma aresta. Ou seja, de todas as formas de ligar dois vértices, as que são arestas não contam; as restantes são diagonais.
Passo 3
Quantos segmentos existem entre todos os pares de vértices? \n
Se temos vértices, o número de maneiras de escolher 2 vértices é dado por
Se temos
Explicando essa fórmula de forma simples: escolhemos o primeiro vértice (
opções) e o segundo (
opções), mas a ordem não importa, então dividimos por
. \n
Exemplo rápido para fixar: para um quadrado ( ) temos
segmentos no total (4 arestas + 2 diagonais).
Exemplo rápido para fixar: para um quadrado (
Passo 4
Aplicando ao octaedro: \n
aqui , logo o total de segmentos entre pares de vértices é
aqui
Isso conta tanto as arestas quanto as diagonais.
Passo 5
Agora subtraímos as arestas para ficar só com as diagonais: \n
número de diagonais total de segmentos entre vértices
número de arestas, isto é
número de diagonais
Passo 6
Interpretação geométrica (confirmação intuitiva): \n
uma maneira de visualizar o octaedro regular é colocar seus vértices em ,
,
. Cada vértice está ligado por arestas a quatro vértices e fica não ligado apenas ao vértice oposto (por exemplo
é oposto a
). Assim, só existem pares de vértices não adjacentes que são os três pares opostos, correspondendo exatamente a
diagonais que atravessam o centro do poliedro. Isso confirma o cálculo anterior.
uma maneira de visualizar o octaedro regular é colocar seus vértices em