Quantas diagonais possui:
um octaedro regular?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas diagonais possui um octaedro regular?”\n
Informações relevantes que vamos usar (dados sobre o octaedro regular): \n
  • número de vértices: V=6\n
  • número de arestas: E=12\n
    (essas são propriedades padrão do octaedro regular; vou usá‑las na resolução)

Passo 2

O que é uma diagonal nesse contexto? \n
Definição que usaremos: uma diagonal é um segmento que une dois vértices que não são ligados por uma aresta. Ou seja, de todas as formas de ligar dois vértices, as que são arestas não contam; as restantes são diagonais.

Passo 3

Quantos segmentos existem entre todos os pares de vértices? \n
Se temos n vértices, o número de maneiras de escolher 2 vértices é dado por
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
Explicando essa fórmula de forma simples: escolhemos o primeiro vértice ( n opções) e o segundo ( n-1 opções), mas a ordem não importa, então dividimos por 2. \n
Exemplo rápido para fixar: para um quadrado ( n=4) temos \binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6 segmentos no total (4 arestas + 2 diagonais).

Passo 4

Aplicando ao octaedro: \n
aqui n=V=6, logo o total de segmentos entre pares de vértices é
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
Isso conta tanto as arestas quanto as diagonais.

Passo 5

Agora subtraímos as arestas para ficar só com as diagonais: \n
número de diagonais = total de segmentos entre vértices - número de arestas, isto é
\text{diagonais}=\binom{6}{2}-E=15-12=3.

Passo 6

Interpretação geométrica (confirmação intuitiva): \n
uma maneira de visualizar o octaedro regular é colocar seus vértices em (\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1). Cada vértice está ligado por arestas a quatro vértices e fica não ligado apenas ao vértice oposto (por exemplo (1,0,0) é oposto a (-1,0,0)). Assim, só existem pares de vértices não adjacentes que são os três pares opostos, correspondendo exatamente a 3 diagonais que atravessam o centro do poliedro. Isso confirma o cálculo anterior.

Resposta

3

Exercícios relacionados