- Qual é o erro da solução abaixo?
“Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas?
Solução: Primeiramente, vamos escolher 3 homens para a comissão, o que pode ser feito de
modos. Agora, devemos escolher mais duas pessoas para a comissão, homens ou mulheres, entre as 6 pessoas restantes, o que pode ser feito de
. A resposta é
.”
“Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas?
Solução: Primeiramente, vamos escolher 3 homens para a comissão, o que pode ser feito de
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é o erro da solução abaixo?” e apresenta a solução que conta comissões de 5 pessoas escolhidas entre 5 homens e 4 mulheres, exigindo que a comissão tenha “pelo menos 3 homens”. As informações dadas são: há
homens e
mulheres, a comissão terá
pessoas e a restrição é “pelo menos
homens” (ou seja,
,
ou
homens). A solução apresentada faz os cálculos
,
e multiplica para obter
. Devemos identificar o erro nessa solução e explicar por que está errada.
Passo 2
Vamos entender exatamente o que a solução original está contando. Ela faz dois passos: primeiro escolhe
homens entre os
, o que é
. Depois diz “escolher mais duas pessoas entre as
restantes” e conta isso como
, multiplicando
. O ponto crucial: essa construção corresponde a um processo em duas etapas (escolher um subconjunto de
homens primeiro, depois escolher
entre os restantes), mas o objeto final que queremos contar é apenas um conjunto de
pessoas — a ordem do processo não importa. Se um mesmo conjunto de
pessoas pode ser obtido por mais de uma escolha na primeira etapa (ou seja, por diferentes subconjuntos de
homens escolhidos na etapa inicial), essa comissão será contada várias vezes no produto
. Esse fenômeno chama-se sobrecontagem (ou contagem múltipla) e é o provável erro.
Passo 3
Explico com calma o conceito que usamos aqui:
(lê-se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher um subconjunto de
elementos de um conjunto de
elementos, sem ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) é o produto
. Por exemplo,
. Esse é o conceito correto para contar combinações quando a ordem não importa.
Passo 4
Método correto (contagem por casos): como a restrição é “pelo menos
homens”, separamos em casos mutuamente exclusivos e contamos cada um sem sobreposição:
- Caso A: exatamente
homens e mulheres. - Caso B: exatamente
homens e mulher. - Caso C: exatamente
homens e mulheres.
Para cada caso usamos combinações para escolher os homens e as mulheres necessários, e multiplicamos (princípio fundamental da contagem) porque escolher homens e escolher mulheres são escolhas independentes.
Passo 5
Calculando cada caso com detalhe (mostrando como montar as contas na prova):
-
Caso A (exatamente
homens e mulheres): Aquiescolhe os homens dentre os e escolhe as mulheres dentre as .
Numericamente:e , então o total desse caso é . -
Caso B (exatamente
homens e mulher): Numericamente:e , dando . -
Caso C (exatamente
homens): Numericamente:e , dando .
Então os resultados por caso são
,
e
.
Passo 6
Somando os casos mutuamente exclusivos obtemos o número correto de comissões com pelo menos
homens:
(Deixo a soma final explícita na seção de resposta.)
Passo 7
Agora volto ao erro da solução inicial e mostro quantitativamente por que ela deu
. Considere uma comissão final que tem exatamente
homens (com
). No método errado, essa mesma comissão pode ser obtida por várias escolhas diferentes da etapa “escolher
homens primeiro”: precisamente, qualquer subconjunto de
dos
homens da comissão poderia ter sido escolhido na primeira etapa. Logo cada comissão com
homens é contada
vezes pelo procedimento “escolher
homens e depois
dos restantes”. Assim o produto
soma, implicitamente, as quantidades
Calculando essa soma com os números dos casos: para
e conta
vezes; para
e conta
; para
e conta
. Somando
obtém-se
, que é exatamente a quantidade dada pela solução errada — isso explica por que o método deu
: houve sobrecontagem.
Resposta
Erro: a solução comete sobrecontagem — ao primeiro escolher
homens e depois
entre os restantes, a mesma comissão pode ser obtida de várias maneiras diferentes e é contada múltiplas vezes.
Resposta correta:
Resposta correta: