1. Qual é o erro da solução abaixo?
    “Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas?
    Solução: Primeiramente, vamos escolher 3 homens para a comissão, o que pode ser feito de C_{5}^{3}=10 modos. Agora, devemos escolher mais duas pessoas para a comissão, homens ou mulheres, entre as 6 pessoas restantes, o que pode ser feito de C_{6}^{2}=15. A resposta é 10 \times 15=150.”

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é o erro da solução abaixo?” e apresenta a solução que conta comissões de 5 pessoas escolhidas entre 5 homens e 4 mulheres, exigindo que a comissão tenha “pelo menos 3 homens”. As informações dadas são: há 5 homens e 4 mulheres, a comissão terá 5 pessoas e a restrição é “pelo menos 3 homens” (ou seja, 3, 4 ou 5 homens). A solução apresentada faz os cálculos \binom{5}{3}=10, \binom{6}{2}=15 e multiplica para obter 150. Devemos identificar o erro nessa solução e explicar por que está errada.

Passo 2

Vamos entender exatamente o que a solução original está contando. Ela faz dois passos: primeiro escolhe 3 homens entre os 5, o que é \binom{5}{3}=10. Depois diz “escolher mais duas pessoas entre as 6 restantes” e conta isso como \binom{6}{2}=15, multiplicando 10\times 15. O ponto crucial: essa construção corresponde a um processo em duas etapas (escolher um subconjunto de 3 homens primeiro, depois escolher 2 entre os restantes), mas o objeto final que queremos contar é apenas um conjunto de 5 pessoas — a ordem do processo não importa. Se um mesmo conjunto de 5 pessoas pode ser obtido por mais de uma escolha na primeira etapa (ou seja, por diferentes subconjuntos de 3 homens escolhidos na etapa inicial), essa comissão será contada várias vezes no produto 10\times 15. Esse fenômeno chama-se sobrecontagem (ou contagem múltipla) e é o provável erro.

Passo 3

Explico com calma o conceito que usamos aqui: \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher um subconjunto de k elementos de um conjunto de n elementos, sem ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\times(n-1)\times\cdots\times 1. Por exemplo, \binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!2!}=10. Esse é o conceito correto para contar combinações quando a ordem não importa.

Passo 4

Método correto (contagem por casos): como a restrição é “pelo menos 3 homens”, separamos em casos mutuamente exclusivos e contamos cada um sem sobreposição:
  • Caso A: exatamente 3 homens e 2 mulheres.
  • Caso B: exatamente 4 homens e 1 mulher.
  • Caso C: exatamente 5 homens e 0 mulheres.
Para cada caso usamos combinações para escolher os homens e as mulheres necessários, e multiplicamos (princípio fundamental da contagem) porque escolher homens e escolher mulheres são escolhas independentes.

Passo 5

Calculando cada caso com detalhe (mostrando como montar as contas na prova):
  • Caso A (exatamente 3 homens e 2 mulheres):
    \text{nº de comissões}=\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{2}.ºõ
    Aqui \binom{5}{3} escolhe os 3 homens dentre os 5 e \binom{4}{2} escolhe as 2 mulheres dentre as 4.
    Numericamente: \binom{5}{3}=10 e \binom{4}{2}=6, então o total desse caso é 10\times 6=60.
  • Caso B (exatamente 4 homens e 1 mulher):
    \text{nº de comissões}=\binom{5}{4}\cdot\binom{4}{1}.ºõ
    Numericamente: \binom{5}{4}=5 e \binom{4}{1}=4, dando 5\times 4=20.
  • Caso C (exatamente 5 homens):
    \text{nº de comissões}=\binom{5}{5}\cdot\binom{4}{0}.ºõ
    Numericamente: \binom{5}{5}=1 e \binom{4}{0}=1, dando 1\times 1=1.
Então os resultados por caso são 60, 20 e 1.

Passo 6

Somando os casos mutuamente exclusivos obtemos o número correto de comissões com pelo menos 3 homens:
\text{Total} = 60 + 20 + 1.
(Deixo a soma final explícita na seção de resposta.)

Passo 7

Agora volto ao erro da solução inicial e mostro quantitativamente por que ela deu 150. Considere uma comissão final que tem exatamente k homens (com k=3,4,5). No método errado, essa mesma comissão pode ser obtida por várias escolhas diferentes da etapa “escolher 3 homens primeiro”: precisamente, qualquer subconjunto de 3 dos k homens da comissão poderia ter sido escolhido na primeira etapa. Logo cada comissão com k homens é contada \binom{k}{3} vezes pelo procedimento “escolher 3 homens e depois 2 dos restantes”. Assim o produto \binom{5}{3}\cdot\binom{6}{2} soma, implicitamente, as quantidades
\sum_{k=3}^{5} \binom{k}{3}\times(\text{nº de comissões com exatamente }k\text{ homens}).ºõ
Calculando essa soma com os números dos casos: para k=3 \binom{3}{3}=1 e conta 60 vezes; para k=4 \binom{4}{3}=4 e conta 4\times 20=80; para k=5 \binom{5}{3}=10 e conta 10\times 1=10. Somando 60+80+10 obtém-se 150, que é exatamente a quantidade dada pela solução errada — isso explica por que o método deu 150: houve sobrecontagem.

Resposta

Erro: a solução comete sobrecontagem — ao primeiro escolher 3 homens e depois 2 entre os restantes, a mesma comissão pode ser obtida de várias maneiras diferentes e é contada múltiplas vezes.
Resposta correta: \;81

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