Faga o que se pede:
a) Encontre um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 2 \vec{u} e \vec{v}-\vec{w}.
b) Mostre que o vetor que você encontrou como resposta do item anterior realmente é unitário e ortogonal a 2 \vec{u} e a \vec{v}-\vec{w}.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} (sem valores numéricos) e pede duas coisas:
(a) encontrar um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w};
(b) mostrar que o vetor encontrado é realmente unitário e ortogonal a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w}.
Informações relevantes que foram dadas:
Os vetores envolvidos são \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
O enunciado pede um vetor unitário ortogonal a dois vetores dados.
Observação (necessária para a construção que vamos usar): vou assumir que os vetores estão em \mathbb{R}^3 e que \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\neq\vec{0} (isto é, os vetores 2\vec{u} e \vec{v}-\vec{w} não são paralelos), caso contrário a construção a seguir precisa de ajuste (vou comentar o caso degenerado mais abaixo).
Passo 2
Ideia central (explicada passo a passo, sem pular etapas): em \mathbb{R}^3 o produto vetorial (ou “cross product”) de dois vetores \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}. Vou explicar as propriedades que usarei:
Definição intuitiva e propriedade básica: para \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3, \vec{a}\times\vec{b} é um vetor ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}. Formalmente, vale
Isto é uma identidade padrão do produto vetorial que podemos aceitar como propriedade (é fácil de verificar usando a definição por determinante ou por componentes).
Magnitude do produto vetorial: \|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Isso mostra que se \vec{a} e \vec{b} são paralelos (ou um é nulo) o produto vetorial é o vetor nulo.
Linearidade em cada argumento e fator escalar: para escalar c\in\mathbb{R},
O sinal \pm aparece porque tanto \vec{e} quanto -\vec{e} são unitários e ambos são ortogonais aos dois vetores; a escolha do sinal determina a orientação (sentido) do vetor.
Podemos simplificar a expressão usando a linearidade em escala no produto vetorial e na norma:
Observação sobre o caso degenerado (não esquece na prova!): se \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})=\vec{0}, então 2\vec{u} e \vec{v}-\vec{w} são paralelos (ou um é nulo). Nesse caso a expressão acima não funciona porque não dá para dividir por zero. Mas o enunciado normalmente pressupõe que existe um vetor não nulo ortogonal aos dois (ou que se espera a construção via produto vetorial). Se for necessário tratar o caso paralelo, então a solução é escolher qualquer vetor unitário perpendicular ao vetor comum (por exemplo, aplicar Gram–Schmidt ou tomar um vetor padrão e ortogonalizá‑lo); existem infinitos vetores unitários que servem quando os dois vetores são paralelos. Aqui, como o enunciado pede “encontre um vetor unitário”, a construção por produto vetorial é a resposta direta no caso não degenerado.
Passo 7
Resumo rápido (sintetizando a resposta para decorar e usar na prova): pegue o produto vetorial entre 2\vec{u} e \vec{v}-\vec{w} e normalize; o fator 2 some na normalização, de modo que é suficiente normalizar \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w}). Isso dá uma resposta curta, fácil de escrever em prova e fácil de verificar com as propriedades do produto vetorial e do produto escalar.