Faga o que se pede:
a) Encontre um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 2 \vec{u} e \vec{v}-\vec{w}.
b) Mostre que o vetor que você encontrou como resposta do item anterior realmente é unitário e ortogonal a 2 \vec{u} e a \vec{v}-\vec{w}.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} (sem valores numéricos) e pede duas coisas:
  • (a) encontrar um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w};
  • (b) mostrar que o vetor encontrado é realmente unitário e ortogonal a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w}.
Informações relevantes que foram dadas:
  • Os vetores envolvidos são \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
  • O enunciado pede um vetor unitário ortogonal a dois vetores dados.
Observação (necessária para a construção que vamos usar): vou assumir que os vetores estão em \mathbb{R}^3 e que \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\neq\vec{0} (isto é, os vetores 2\vec{u} e \vec{v}-\vec{w} não são paralelos), caso contrário a construção a seguir precisa de ajuste (vou comentar o caso degenerado mais abaixo).

Passo 2

Ideia central (explicada passo a passo, sem pular etapas): em \mathbb{R}^3 o produto vetorial (ou “cross product”) de dois vetores \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}. Vou explicar as propriedades que usarei:
  • Definição intuitiva e propriedade básica: para \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3, \vec{a}\times\vec{b} é um vetor ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}. Formalmente, vale
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0 \qquad\text{e}\qquad (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0.
Isto é uma identidade padrão do produto vetorial que podemos aceitar como propriedade (é fácil de verificar usando a definição por determinante ou por componentes).
  • Magnitude do produto vetorial: \|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Isso mostra que se \vec{a} e \vec{b} são paralelos (ou um é nulo) o produto vetorial é o vetor nulo.
  • Linearidade em cada argumento e fator escalar: para escalar c\in\mathbb{R},
(c\vec{a})\times\vec{b}=c(\vec{a}\times\vec{b}), \qquad \vec{a}\times(c\vec{b})=c(\vec{a}\times\vec{b}).
Em particular
(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w}) = 2\bigl(\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr).
Com essas propriedades em mente, uma construção natural de um vetor perpendicular a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w} é:
\vec{n}=(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w}).
Pelo que foi dito, \vec{n} é ortogonal a cada um dos dois vetores dados. Agora falta normalizar \vec{n} para obter um vetor unitário.

Passo 3

Normalização (como passar de um vetor qualquer para um vetor unitário): dado um vetor \vec{n}\neq\vec{0}, o vetor unitário na direção de \vec{n} é
\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|},
pois o comprimento (norma) desse vetor é \displaystyle\left\|\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\right\|=\frac{\|\vec{n}\|}{\|\vec{n}\|}=1.
Aplicando isso ao nosso \vec{n}=(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w}), um candidato natural para a resposta do item (a) é
\vec{e}=\pm\frac{(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|}.
O sinal \pm aparece porque tanto \vec{e} quanto -\vec{e} são unitários e ambos são ortogonais aos dois vetores; a escolha do sinal determina a orientação (sentido) do vetor.
Podemos simplificar a expressão usando a linearidade em escala no produto vetorial e na norma:
(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w}) = 2\bigl(\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr)
e
\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\| = |2|\,\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\| = 2\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\|.
Portanto a expressão do vetor unitário simplifica para
\vec{e}=\pm\frac{\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\|}.
Essa é uma forma mais compacta e elegante, e mostra que o fator 2 desaparece ao normalizar.

Passo 4

Verificação da ortogonalidade (mostrar que \vec{e} é ortogonal a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w}) — explicando cada identidade usada:
Defina
\vec{e}=\frac{(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|},
assumindo denominador não nulo. Para mostrar ortogonalidade compute o produto escalar com cada um dos vetores-alvo.
Usamos a propriedade geral: para quaisquer \vec{a},\vec{b} vale (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0 e (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0. Então
\vec{e}\cdot(2\vec{u}) = \frac{\bigl((2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr)\cdot(2\vec{u})}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|} = \frac{4\bigl(\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr)\cdot\vec{u}}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|}.
Mas \bigl(\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr)\cdot\vec{u}=0 pela propriedade citada, logo o numerador é zero e portanto
\vec{e}\cdot(2\vec{u})=0.
Analogamente,
\vec{e}\cdot(\vec{v}-\vec{w}) = \frac{\bigl((2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr)\cdot(\vec{v}-\vec{w})}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|} =0,
porque \bigl((2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\bigr)\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0 pela mesma propriedade.
Portanto \vec{e} é ortogonal a 2\vec{u} e a \vec{v}-\vec{w}.

Passo 5

Verificação de que \vec{e} é unitário (norma igual a 1) — mostrando todas as contas:
Pela definição,
\|\vec{e}\| = \left\|\frac{(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|}\right\| = \frac{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|}=1,
desde que o denominador não seja zero. Se preferir ver com a forma simplificada:
\vec{e}=\pm\frac{\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\|}, \qquad \text{então } \|\vec{e}\| =\frac{\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\|}{\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\|}=1.ã

Passo 6

Observação sobre o caso degenerado (não esquece na prova!): se \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})=\vec{0}, então 2\vec{u} e \vec{v}-\vec{w} são paralelos (ou um é nulo). Nesse caso a expressão acima não funciona porque não dá para dividir por zero. Mas o enunciado normalmente pressupõe que existe um vetor não nulo ortogonal aos dois (ou que se espera a construção via produto vetorial). Se for necessário tratar o caso paralelo, então a solução é escolher qualquer vetor unitário perpendicular ao vetor comum (por exemplo, aplicar Gram–Schmidt ou tomar um vetor padrão e ortogonalizá‑lo); existem infinitos vetores unitários que servem quando os dois vetores são paralelos. Aqui, como o enunciado pede “encontre um vetor unitário”, a construção por produto vetorial é a resposta direta no caso não degenerado.

Passo 7

Resumo rápido (sintetizando a resposta para decorar e usar na prova): pegue o produto vetorial entre 2\vec{u} e \vec{v}-\vec{w} e normalize; o fator 2 some na normalização, de modo que é suficiente normalizar \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w}). Isso dá uma resposta curta, fácil de escrever em prova e fácil de verificar com as propriedades do produto vetorial e do produto escalar.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{e}=\pm\frac{(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|(2\vec{u})\times(\vec{v}-\vec{w})\|}=\pm\frac{\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})}{\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{w})\|}.
(b) \displaystyle \|\vec{e}\|=1,\quad \vec{e}\cdot(2\vec{u})=0,\quad \vec{e}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0.

Exercícios relacionados