Seja F o operador linear de M_{2}(\mathbb{R}) definido por F(X)=B X, \forall X \in M_{2}(\mathbb{R}). No caso, de B=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) determinar \operatorname{Ker}(F) e a dimensão da imagem de F . F é um automorfismo?

Passo 1

O enunciado dá um operador linear F:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) definido por F(X)=B X para todo X\in M_{2}(\mathbb{R}), com
B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • Determinar \operatorname{Ker}(F).
  • Determinar a dimensão da imagem de F, isto é \dim(\operatorname{Im}(F)).
  • Verificar se F é um automorfismo (ou seja, se é bijetora / inversível).]

Passo 2

Para achar o núcleo, escrevo uma matriz genérica X\in M_{2}(\mathbb{R}). Seja
X=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix}.
Vou calcular B X. Multiplicando as matrizes obtemos
B X=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot z & 1\cdot y + 0\cdot w\\[4pt] 2\cdot x + (-1)\cdot z & 2\cdot y + (-1)\cdot w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\\[4pt] 2x - z & 2y - w \end{pmatrix}.]

Passo 3

A condição X\in\operatorname{Ker}(F)\) é \(B X = 0\) (a matriz nula). Assim as quatro equações são \[\begin{cases} x = 0,\\[4pt] y = 0,\\[4pt] 2x - z = 0,\\[4pt] 2y - w = 0. \end{cases}
Das duas primeiras vem x=0\] e \(y=0. Substituindo nas outras, obtem-se z=2x=0 e w=2y=0. Portanto todas as entradas são zero, logo
\operatorname{Ker}(F)=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\right\},
ou seja, o núcleo é apenas a matriz nula (número zero do espaço).]

Passo 4

Vou dar uma explicação alternativa, útil para prova: escrever X em colunas. Se X=[v_1\\ v_2] com v_1,v_2\in\mathbb{R}^2, então
B X = [Bv_1\\ Bv_2].
Assim B X = 0 se e só se Bv_1=0 e Bv_2=0, isto é, as colunas de X estão em \operatorname{Ker}(B). Mas \operatorname{Ker}(B)=\{0\} porque \det(B)\neq 0. De fato
\det(B)=1\cdot(-1)-0\cdot 2=-1\neq 0,
portanto B é invertível como aplicação \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e só anula o vetor zero. Logo as colunas de X são zero e X=0. Isso confirma o resultado do núcleo trivial.

Passo 5

Agora a dimensão da imagem. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) para um mapa linear de um espaço de dimensão finita:
\dim(M_{2}(\mathbb{R}))=\dim(\operatorname{Ker}(F))+\dim(\operatorname{Im}(F)).
Sabendo que \dim(M_{2}(\mathbb{R}))=4 e que \dim(\operatorname{Ker}(F))=0, obtemos
\dim(\operatorname{Im}(F))=4-0=4.
Outra maneira rápida: como B tem posto 2 (é invertível em \mathbb{R}^2), cada coluna de BX pode ser qualquer vetor de \mathbb{R}^2, então a imagem de F é todo M_2(\mathbb{R}) (dimensão 2\cdot 2=4).

Passo 6

Finalmente, F é automorfismo? Sim. Argumentos:
  • Já vimos que \operatorname{Ker}(F)=\{0\}, logo F é injetora. Em espaços vetoriais de dimensão finita iguais no domínio e contradomínio, injetividade implica sobrejetividade, portanto F é bijetora.
  • Alternativamente, como B é invertível, a aplicação inversa é F^{-1}(X)=B^{-1}X. Observação curiosa: neste caso B^{-1}=B porque B^2=I (verificando B^2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}), então F^{-1}=F e F é involutória além de ser um automorfismo.]

Resposta

\operatorname{Ker}(F)=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\right\}
\dim(\operatorname{Im}(F))=4
F é um automorfismo (sim).]

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