Questão. Considere a função de duas variáveis
. Seja o ponto
e a direção definida por um vetor unitário que forma um ângulo
com o eixo horizontal positivo.
Com base nessas informações, determine:
a) A derivada direcional da função
no ponto
, na direção indicada pelo ângulo
;
b) O valor da derivada direcional máxima da função no ponto
.
Com base nessas informações, determine:
a) A derivada direcional da função
b) O valor da derivada direcional máxima da função no ponto
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
- Função:
. - Ponto:
. - Direção: vetor unitário que forma um ângulo
com o eixo positivo (portanto o vetor unitário é ).
As perguntas são:
(a) Calcular a derivada direcional deem na direção indicada por .
(b) Calcular o valor da derivada direcional máxima deno ponto .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo).
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos em ao longo de . - A forma prática e muito usada é
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar. Isso vale para
unitário.
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Explicando:
é a derivada de
tratando
como constante;
é derivando tratando
como constante.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(mostrando cada termo).
- Derivada parcial em relação a
:
Somando,
- Derivada parcial em relação a
:
Somando,
Passo 4
Avaliar o gradiente em
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Logo o gradiente em
é
Passo 5
Construir o vetor unitário da direção
e aplicar a fórmula do produto escalar.
- O vetor unitário na direção do ângulo
(medido a partir do eixo positivo) é
- A derivada direcional é
- Fazendo o produto escalar:
Se quiser um valor numérico aproximado, usamos
e
. Calculando:
Passo 6
Determinar a derivada direcional máxima (intuição e prova rápida).
- Intuição: a maior taxa de aumento possível em torno de
ocorre na direção do gradiente . Em termos matemáticos, para qualquer vetor unitário vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz
porque
. Assim o maior valor possível de
quando
varia entre vetores unitários é
, e ocorre quando
tem a mesma direção de
.
- Portanto a derivada direcional máxima em
é .
Passo 7
Calcular a norma do gradiente em
.
Fatorando,
.
Valor numérico aproximado:
Valor numérico aproximado:
Assim a derivada direcional máxima no ponto
é
(aprox.
).
Resposta
(a)
(b)