4^{\underline{a}} Questão. Considere a função de duas variáveis f(x, y)=2 x^{2}-3 x^{3} y^{2}+4 y^{4}. Seja o ponto P=(2,1) e a direção definida por um vetor unitário que forma um ângulo \theta=50^{\circ} com o eixo horizontal positivo.
Com base nessas informações, determine:
a) A derivada direcional da função f(x, y) no ponto P, na direção indicada pelo ângulo \theta;
b) O valor da derivada direcional máxima da função no ponto P.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
  • Função: f(x,y)=2x^{2}-3x^{3}y^{2}+4y^{4}.
  • Ponto: P=(2,1).
  • Direção: vetor unitário que forma um ângulo \theta=50^\circ com o eixo x positivo (portanto o vetor unitário é \mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)).
    As perguntas são:
    (a) Calcular a derivada direcional de f em P na direção indicada por \theta.
    (b) Calcular o valor da derivada direcional máxima de f no ponto P.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo).
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos em P ao longo de \mathbf{u}.
  • A forma prática e muito usada é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar. Isso vale para \mathbf{u} unitário.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f tratando y como constante; \frac{\partial f}{\partial y} é derivando tratando x como constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (mostrando cada termo).
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{2}\big)=4x,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3x^{3}y^{2}\big)=-3\cdot 3x^{2}y^{2}=-9x^{2}y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{4}\big)=0\quad(\text{pois }y\text{ é tratado como constante}).é
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x-9x^{2}y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2x^{2}\big)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3x^{3}y^{2}\big)=-3x^{3}\cdot 2y=-6x^{3}y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{4}\big)=16y^{3}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-6x^{3}y+16y^{3}.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(2,1).
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial x}(2,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=4\cdot 2-9\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=8-9\cdot 4=8-36=-28.
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial y}(2,1):
\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=-6\cdot 2^{3}\cdot 1+16\cdot 1^{3}=-6\cdot 8+16=-48+16=-32.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(P)=(-28,\,-32).

Passo 5

Construir o vetor unitário da direção \theta=50^\circ e aplicar a fórmula do produto escalar.
  • O vetor unitário na direção do ângulo \theta (medido a partir do eixo x positivo) é
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)=(\cos 50^\circ,\sin 50^\circ).
  • A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}=(-28,\,-32)\cdot(\cos 50^\circ,\sin 50^\circ).
  • Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(P)=-28\cos 50^\circ-32\sin 50^\circ.
Se quiser um valor numérico aproximado, usamos \cos 50^\circ\approx 0,6427876 e \sin 50^\circ\approx 0,7660444. Calculando:
D_{\mathbf{u}}f(P)\approx -28\cdot 0,6427876 -32\cdot 0,7660444\approx -17{,}9981 -24{,}5134\approx -42{,}5115.

Passo 6

Determinar a derivada direcional máxima (intuição e prova rápida).
  • Intuição: a maior taxa de aumento possível em torno de P ocorre na direção do gradiente \nabla f(P). Em termos matemáticos, para qualquer vetor unitário \mathbf{u} vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f(P)\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f(P)\|,
porque \|\mathbf{u}\|=1. Assim o maior valor possível de D_{\mathbf{u}}f(P) quando \mathbf{u} varia entre vetores unitários é \|\nabla f(P)\|, e ocorre quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f(P).
  • Portanto a derivada direcional máxima em P é \|\nabla f(P)\|.

Passo 7

Calcular a norma do gradiente em P.
\|\nabla f(P)\|=\sqrt{(-28)^{2}+(-32)^{2}}=\sqrt{784+1024}=\sqrt{1808}.
Fatorando, \sqrt{1808}=\sqrt{16\cdot 113}=4\sqrt{113}.
Valor numérico aproximado:
4\sqrt{113}\approx 4\cdot 10{,}6301458\approx 42{,}5206.
Assim a derivada direcional máxima no ponto P é 4\sqrt{113} (aprox. 42{,}5206).

Resposta

(a) D_{\mathbf{u}}f(P)=-28\cos 50^\circ-32\sin 50^\circ\approx -42{,}5115
(b) D_{\max}f(P)=\|\nabla f(P)\|=4\sqrt{113}\approx 42{,}5206

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