Verifique se o sistema a seguir é estável ou não:
G(s)=s+1s^2+4 s+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema representado pela função de transferência:
G(s)=s+1s^2+4 s+1
O objetivo é verificar se esse sistema é estável ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estabilidade de sistemas e como analisar os polos da função de transferência.

Passo 2

A estabilidade de um sistema está relacionada aos seus polos, que são os valores de $ s $ que tornam o denominador da função de transferência igual a zero. Então, vamos encontrar os polos resolvendo a equação:
s

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
s = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Substituindo esses valores:
a = 1

Passo 4

Simplificando a expressão:
s = -2 pm raiz3
Calculando os valores numéricos:
  • $ \sqrt{3} \approx 1,732 $
  • Assim, os polos são aproximadamente:
    • $ s_1 = -2 + 1,732 \approx -0,268 $
    • $ s_2 = -2 - 1,732 \approx -3,732 $

Passo 5

Agora, vamos analisar os valores reais dos polos:
  • Ambos os polos têm partes reais negativas ($ -0,268 $ e $ -3,732 $).
  • Em sistemas lineares, se todos os polos tiverem partes reais negativas, o sistema é estável, pois as respostas naturais decaem com o tempo.

Resposta

Sim, o sistema é estável, pois todos os polos da função de transferência têm partes reais negativas.

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