Utilizando a transformada de Laplace determine a função de y(t) que resolve a equação 6. Considerando as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=0.
y^prime prime(t)-3 y^prime(t)+2 y(t)=e^3 t

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Usando a transformada de Laplace, achamos y''(t) - 3y'(t) + 2y(t) = e^3t, que satisfaz
com as condições iniciais e .
Isso é um EDO de 2ª ordem e a gente vai usar a transformada de Laplace para virar derivadas em álgebra. Para isso precisamos:
  • Saber a definição de .
  • As fórmulas e .
  • Fazer álgebra em e depois usar frações parciais.
  • Usar .

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace nos dois lados:
Ly''-3Ly'+2Ly =Le^3t
Substituindo as fórmulas das derivadas:
l(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)r) -3l(sY(s)-y(0)r) +2Y(s) =1s-3

Passo 3

Agora coloco l(s^2Y(s)-scdot1-0r) -3l(sY(s)-1r) +2Y(s) =1s-3 e s^2Y(s)-s -3sY(s)+3 +2Y(s) =1s-3 :
l(s^2-3s+2r)Y(s);+;(-s+3) =1s-3
Distribuindo:
(s^2-3s+2),Y(s) =1s-3+s-3
Junto os termos em Y(s) =s-3(s-1)(s-2);+;1(s-3)(s-1)(s-2) e os constantes:
Então
Como , temos

Passo 4

Precisamos de frações parciais em cada parcela. Primeiro
s-3(s-1)(s-2) =As-1+Bs-2
Multiplicando tudo pelo denom comum:
s-3 = A(s-2)+B(s-1) = (A+B)s - (2A + B)
Comparando coeficientes:
A + B = 1
2A + B = 3
Resolve: A=2, B=−1.
Logo
s-3(s-1)(s-2) = 2s-1 - 1s-2
Agora a segunda parcela:
1(s-1)(s-2)(s-3) =Cs-1+Ds-2+Es-3
Multiplico tudo:
1 = C(s-2)(s-3) + D(s-1)(s-3) + E(s-1)(s-2)
Testo valores:
  • Para 1(s-1)(s-2)(s-3) = 1/2s-1 - 1s-2 + 1/2s-3 : .
  • Para : .
  • Para : .
Então

Passo 5

Juntando tudo:
Y(s) =l(2s-1-1s-2r) +l(1/2s-1-1s-2+1/2s-3r) =5/2s-1-2s-2+1/2s-3
Agora aplico a antitransformada:
y(t) =52e^t - 2e^2t + 12 e^3t

Resposta

boxedy(t)=52e^t ;-;2e^2t;+;12e^3t

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