Utilizando a transformada de Laplace determine a função de
que resolve a equação 6. Considerando as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Usando a transformada de Laplace, achamos
que satisfaz
com as condições iniciais
e
.
Isso é um EDO de 2ª ordem e a gente vai usar a transformada de Laplace para virar derivadas em álgebra. Para isso precisamos:
Isso é um EDO de 2ª ordem e a gente vai usar a transformada de Laplace para virar derivadas em álgebra. Para isso precisamos:
- Saber a definição de
. - As fórmulas
e . - Fazer álgebra em
e depois usar frações parciais. - Usar
.
Passo 2
Aplico a transformada de Laplace nos dois lados:
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Passo 3
Agora coloco
e
:
Distribuindo:
Junto os termos em
e os constantes:
Então
Como
, temos
Passo 4
Precisamos de frações parciais em cada parcela. Primeiro
Multiplicando tudo pelo denom comum:
Comparando coeficientes:
A + B = 1
2A + B = 3
Resolve: A=2, B=−1.
Logo
A + B = 1
2A + B = 3
Resolve: A=2, B=−1.
Logo
Agora a segunda parcela:
Multiplico tudo:
Testo valores:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Então
Passo 5
Juntando tudo:
Agora aplico a antitransformada: