Quando falamos em tecnologia LCD, existem diversos aspectos que podem interessar ao usuário. Se o intuito for jogar videogame, por exemplo, uma característica que deve ser observada é o tempo de resposta do aparelho. O tempo de resposta é aquele em que o monitor de LCD muda completamente a imagem da tela. Este fator é importante pois, caso não seja rápido o suficiente, teremos efeitos indesejados como “objetos fantasmas” ou sombra nos movimentos do jogo. Supondo que esse tempo de resposta tenha distribuição exponencial com média igual a 5 milissegundos, responda:
Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser de no máximo 10 milissegundos?
Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser de no máximo 10 milissegundos?
Passo 1
O enunciado dá que o tempo de resposta do monitor é uma variável aleatória com distribuição exponencial e que a média desse tempo é
milissegundos. A pergunta é: qual a probabilidade de o tempo de resposta ser, no máximo,
milissegundos? Em notação probabilística precisamos calcular
onde
é o tempo de resposta (em milissegundos).
Passo 2
Primeiro precisamos relacionar a média da distribuição exponencial com o seu parâmetro. Para uma variável exponencial com parâmetro
(unidade: por milissegundo), a média é
Aqui o enunciado diz que
. Então obtemos
isolando na fórmula:
Portanto
(unidade: por milissegundo). Eu deixei as unidades explícitas para você lembrar que
depende da unidade de tempo.
Passo 3
Agora precisamos da função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, que dá a probabilidade de a variável ser menor ou igual a um certo valor. A CDF de uma exponencial com parâmetro
é
Explicando isso rapidinho: a exponencial tem densidade
para
. Integrando
de
até
obtemos
. Essa função cresce com
e fica entre
e
, como toda probabilidade.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da CDF com
e
:
Essa é a forma exata da resposta:
.
Passo 5
Agora vamos calcular uma aproximação decimal para ficar mais intuitivo. Para isso calculamos
e depois invertimos:
Fazendo a conta aproximada:
Assim
Portanto
Passo 6
Interpretação: a probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo
milissegundos é aproximadamente
, isto é, cerca de
. Em palavras: em torno de 86 em cada 100 vezes o monitor responde em até 10 ms.
Passo 7
Dica prática para prova: em problemas exponenciais memorize as duas fórmulas principais — média
— e CDF
. Para passar de média para
sempre faça
. Se pedirem probabilidade de “no máximo” (ou “até”) use a CDF; se pedirem “mais que” use
. Isso resolve a maioria das questões rápidas na prova.