Quando falamos em tecnologia LCD, existem diversos aspectos que podem interessar ao usuário. Se o intuito for jogar videogame, por exemplo, uma característica que deve ser observada é o tempo de resposta do aparelho. O tempo de resposta é aquele em que o monitor de LCD muda completamente a imagem da tela. Este fator é importante pois, caso não seja rápido o suficiente, teremos efeitos indesejados como “objetos fantasmas” ou sombra nos movimentos do jogo. Supondo que esse tempo de resposta tenha distribuição exponencial com média igual a 5 milissegundos, responda:
Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser de no máximo 10 milissegundos?

Passo 1

O enunciado dá que o tempo de resposta do monitor é uma variável aleatória com distribuição exponencial e que a média desse tempo é \,5 milissegundos. A pergunta é: qual a probabilidade de o tempo de resposta ser, no máximo, \,10 milissegundos? Em notação probabilística precisamos calcular
P(X \le 10)
onde X é o tempo de resposta (em milissegundos).

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar a média da distribuição exponencial com o seu parâmetro. Para uma variável exponencial com parâmetro \lambda>0 (unidade: por milissegundo), a média é
E[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui o enunciado diz que E[X]=5. Então obtemos \lambda isolando na fórmula:
\frac{1}{\lambda}=5 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{5}.
Portanto \lambda=\frac{1}{5} (unidade: por milissegundo). Eu deixei as unidades explícitas para você lembrar que \lambda depende da unidade de tempo.

Passo 3

Agora precisamos da função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, que dá a probabilidade de a variável ser menor ou igual a um certo valor. A CDF de uma exponencial com parâmetro \lambda é
F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
Explicando isso rapidinho: a exponencial tem densidade f(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge0. Integrando f de 0 até x obtemos 1-e^{-\lambda x}. Essa função cresce com x e fica entre 0 e 1, como toda probabilidade.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da CDF com \lambda=\dfrac{1}{5} e x=10:
P(X\le 10)=1-e^{-\lambda\cdot 10}=1-e^{-\frac{1}{5}\cdot 10}=1-e^{-2}.
Essa é a forma exata da resposta: 1-e^{-2}.

Passo 5

Agora vamos calcular uma aproximação decimal para ficar mais intuitivo. Para isso calculamos e^{2} e depois invertimos:
e\approx 2,71828 \quad\Rightarrow\quad e^{2}\approx 2,71828^{2}.
Fazendo a conta aproximada:
2,71828^{2}\approx 7,38905.
Assim
e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}\approx\frac{1}{7,38905}\approx 0,135335.
Portanto
1-e^{-2}\approx 1-0,135335=0,864665.

Passo 6

Interpretação: a probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo \,10 milissegundos é aproximadamente \,0,8647, isto é, cerca de 86,47\%. Em palavras: em torno de 86 em cada 100 vezes o monitor responde em até 10 ms.

Passo 7

Dica prática para prova: em problemas exponenciais memorize as duas fórmulas principais — média \,E[X]=1/\lambda — e CDF \,P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}. Para passar de média para \lambda sempre faça \lambda=1/\text{média}é. Se pedirem probabilidade de “no máximo” (ou “até”) use a CDF; se pedirem “mais que” use P(X>x)=e^{-\lambda x}. Isso resolve a maioria das questões rápidas na prova.

Resposta

P(X\le 10)=1-e^{-2}\approx 0,864665

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