Evento: “Lançar uma moeda honesta (equiprovável) três vezes ao ar”. X : “número de caras obtidas deste evento”. Pede-se: i) Representar a distribuição de probabilidade da v.a.d. X; ii) Representar a função de densidade de probabilidade; iii) Representar a função de probabilidade; iv) Calcule P(1 \leq X<2). v) Calcule P(X=2) e P(X=3) através da função de probabilidade.
Passo 1
O enunciado diz: “Lançar uma moeda honesta (equiprovável) três vezes ao ar”. A variável aleatória X é “número de caras obtidas”. As perguntas são:
i) Representar a distribuição de probabilidade da v.a.d. X.
ii) Representar a função de densidade de probabilidade (isto é, a função massa de probabilidade, já que X é discreta).
iii) Representar a função de probabilidade (interpreto aqui como a função de distribuição acumulada, a CDF).
iv) Calcular P(1 \leq X<2).
v) Calcular P(X=2) e P(X=3) usando a função de probabilidade.
Informações dadas que usaremos:
São três lançamentos independentes de uma moeda honesta.
Cada sequência de resultados (por exemplo, CTC) tem probabilidade igual a 1/8 (pois 2^3=8 resultados equiprováveis).
X só pode assumir os valores 0,1,2,3.
Passo 2
Listar o espaço amostral e associar X a cada resultado (para entender de onde vêm as probabilidades). Os oito resultados possíveis (cada um com probabilidade 1/8) são:
Portanto as contagens para X=k são 1,3,3,1 para k=0,1,2,3 respectivamente. Como cada resultado tem probabilidade 1/8, já vemos que P(X=k) será \frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}.
Passo 3
Construir a distribuição de probabilidade (tabela) pedida em (i). A distribuição (valor de X e sua probabilidade) é:
Isto responde (i) com a tabela explícita. Uma checagem rápida: \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=1, bom sinal.]
Passo 4
Explicar e apresentar a função massa de probabilidade (pmf) pedida em (ii). Observação: X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 (número de lançamentos) e p=\tfrac{1}{2} (probabilidade de cara em cada lançamento). A fórmula geral da distribuição binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
e n! (fatorial) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Aqui n=3 e p=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
Expliquei por que aparece \left(\tfrac{1}{2}\right)^3: cada sequência de 3 lançamentos tem probabilidade \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}; o coeficiente binomial conta quantas sequências têm exatamente k caras.
Passo 5
Construir a função de distribuição acumulada (CDF) pedida em (iii). A CDF é F_X(x)=P(X\le x). Como X é discreta com valores inteiros, F_X é uma função em escada. Vamos escrever de forma peça a peça:
Para x<0: F_X(x)=0 (não há valores negativos).
Para 0\le x<1: F_X(x)=P(X\le 0)=P(X=0)=\tfrac{1}{8}.
Para 1\le x<2: F_X(x)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}.
Para 2\le x<3: F_X(x)=P(X\le 2)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{7}{8}.
Mostrei passo a passo como aplicar a fórmula binomial e avaliar o coeficiente.
Passo 8
Pequena verificação final e incentivo: somando todas as probabilidades temos \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=1, portanto está consistente. Você conseguiu — mesmo desesperado dá pra organizar o raciocínio com calma!