Evento: “Lançar uma moeda honesta (equiprovável) três vezes ao ar”. X : “número de caras obtidas deste evento”. Pede-se: i) Representar a distribuição de probabilidade da v.a.d. X; ii) Representar a função de densidade de probabilidade; iii) Representar a função de probabilidade; iv) Calcule P(1 \leq X<2). v) Calcule P(X=2) e P(X=3) através da função de probabilidade.

Passo 1

O enunciado diz: “Lançar uma moeda honesta (equiprovável) três vezes ao ar”. A variável aleatória X é “número de caras obtidas”. As perguntas são:
i) Representar a distribuição de probabilidade da v.a.d. X.
ii) Representar a função de densidade de probabilidade (isto é, a função massa de probabilidade, já que X é discreta).
iii) Representar a função de probabilidade (interpreto aqui como a função de distribuição acumulada, a CDF).
iv) Calcular P(1 \leq X<2).
v) Calcular P(X=2) e P(X=3) usando a função de probabilidade.
Informações dadas que usaremos:
  • São três lançamentos independentes de uma moeda honesta.
  • Cada sequência de resultados (por exemplo, CTC) tem probabilidade igual a 1/8 (pois 2^3=8 resultados equiprováveis).
  • X só pode assumir os valores 0,1,2,3.

Passo 2

Listar o espaço amostral e associar X a cada resultado (para entender de onde vêm as probabilidades). Os oito resultados possíveis (cada um com probabilidade 1/8) são:
\text{TTT},\\ \text{TTC},\\ \text{TCT},\\ \text{CTT},\\ \text{TCC},\\ \text{CTC},\\ \text{CCT},\\ \text{CCC}.
Agora contamos o número de caras (C) em cada resultado:
  • X=0: apenas \text{TTT} — 1 resultado.
  • X=1: \text{TTC},\\ \text{TCT},\\ \text{CTT} — 3 resultados.
  • X=2: \text{TCC},\\ \text{CTC},\\ \text{CCT} — 3 resultados.
  • X=3: \text{CCC} — 1 resultado.
Portanto as contagens para X=k são 1,3,3,1 para k=0,1,2,3 respectivamente. Como cada resultado tem probabilidade 1/8, já vemos que P(X=k) será \frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}.

Passo 3

Construir a distribuição de probabilidade (tabela) pedida em (i). A distribuição (valor de X e sua probabilidade) é:
\begin{array}{c|c} x & P(X=x)\\hline 0 & \tfrac{1}{8}\\[4pt] 1 & \tfrac{3}{8}\\[4pt] 2 & \tfrac{3}{8}\\[4pt] 3 & \tfrac{1}{8} \end{array}
Isto responde (i) com a tabela explícita. Uma checagem rápida: \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=1, bom sinal.]

Passo 4

Explicar e apresentar a função massa de probabilidade (pmf) pedida em (ii). Observação: X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 (número de lançamentos) e p=\tfrac{1}{2} (probabilidade de cara em cada lançamento). A fórmula geral da distribuição binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
e n! (fatorial) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Aqui n=3 e p=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
P(X=k)=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3},
válido para k\in\{0,1,2,3\}. Calculemos os coeficientes:
\binom{3}{0}=1,\quad \binom{3}{1}=3,\quad \binom{3}{2}=3,\quad \binom{3}{3}=1.
Logo numericamentes:
P(X=0)=\binom{3}{0}\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8},\quad P(X=1)=\binom{3}{1}\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8},
P(X=2)=\binom{3}{2}\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8},\quad P(X=3)=\binom{3}{3}\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8}.
Expliquei por que aparece \left(\tfrac{1}{2}\right)^3: cada sequência de 3 lançamentos tem probabilidade \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}; o coeficiente binomial conta quantas sequências têm exatamente k caras.

Passo 5

Construir a função de distribuição acumulada (CDF) pedida em (iii). A CDF é F_X(x)=P(X\le x). Como X é discreta com valores inteiros, F_X é uma função em escada. Vamos escrever de forma peça a peça:
  • Para x<0: F_X(x)=0 (não há valores negativos).
  • Para 0\le x<1: F_X(x)=P(X\le 0)=P(X=0)=\tfrac{1}{8}.
  • Para 1\le x<2: F_X(x)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}.
  • Para 2\le x<3: F_X(x)=P(X\le 2)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{7}{8}.
  • Para x\ge 3: F_X(x)=1.
Em forma peça a peça:
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \tfrac{1}{8}, & 0\le x<1,\\[4pt] \tfrac{1}{2}, & 1\le x<2,\\[4pt] \tfrac{7}{8}, & 2\le x<3,\\[4pt] 1, & x\ge 3. \end{cases}]

Passo 6

Calcular P(1\le X<2) pedido em (iv). Como X só assume valores inteiros, o intervalo [1,2) contém apenas o valor X=1. Logo
P(1\le X<2)=P(X=1)=\tfrac{3}{8}.
Expliquei o raciocínio: para variável discreta, intervalos não inteiros capturam apenas os inteiros que caem dentro.

Passo 7

Calcular P(X=2) e P(X=3) via a função de probabilidade (v). Usando a pmf do Passo 4:
P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\;3\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8},
P(X=3)=\binom{3}{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\;1\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8}.
Mostrei passo a passo como aplicar a fórmula binomial e avaliar o coeficiente.

Passo 8

Pequena verificação final e incentivo: somando todas as probabilidades temos \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=1, portanto está consistente. Você conseguiu — mesmo desesperado dá pra organizar o raciocínio com calma!

Resposta

i) P(X=0)=\tfrac{1}{8},\\ P(X=1)=\tfrac{3}{8},\\ P(X=2)=\tfrac{3}{8},\\ P(X=3)=\tfrac{1}{8}\)\n ii) \(P(X=k)=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3},\quad k\in\{0,1,2,3\}\)\n iii) \(F_X(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\[4pt]\tfrac{1}{8},&0\le x<1,\\[4pt]\tfrac{1}{2},&1\le x<2,\\[4pt]\tfrac{7}{8},&2\le x<3,\\[4pt]1,&x\ge 3.\end{cases}\n
iv) P(1\le X<2)=\tfrac{3}{8}\n
v) P(X=2)=\tfrac{3}{8}\n
P(X=3)=\tfrac{1}{8}]

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