Falso ou Verdadeiro? Justifique.
3.4A (a) se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
;
(b) se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo;
(c) se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional;
(d) se
é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
;
(e) se
, então a série
tem raio de convergência
;
(f) se
tem raio de convergência
, então
também é o raio de convergência das séries
e
;
(g) uma série de potências
pode convergir apenas em dois valores de
.
(h) se
é o raio de convergência da série
, então
é também o raio de convergência da série
.
(i) se
, então as séries
e
têm raio de convergência
;
(j) Se
tem raio de convergência 2 e
tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de
é
.
3.4A (a) se
(b) se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo;
(c) se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional;
(d) se
(e) se
(f) se
(g) uma série de potências
(h) se
(i) se
(j) Se
Passo 1
O exercício reúne diversas afirmações sobre séries de potências
e seu intervalo (ou raio) de convergência. Vamos usar:
. O teste da raiz de Cauchy–Hadamard, que diz que o raio de convergência é
Passo 2
(a) Suponha que
concorra. Para cada
com
,
Logo
é absolutamente convergente em
. Portanto, (a) é Verdadeira.
Passo 3
(b) Se
é absolutamente convergente em um extremo, digamos
, então
Para o outro extremo
temos
mesma série de termos positivos. Logo é absolutamente convergente em
. (b) é Verdadeira.
Passo 4
(c) Se uma série de potências converge em
mas diverge em
, então ela não pode ser absolutamente convergente em
, pois isso implicaria, por (b), convergência absoluta em
. Logo a convergência em
só pode ser condicional. Assim, (c) é Verdadeira.
Passo 5
(d) Seja
com raio de convergência
. Considere
Como a nova série em
tem raio
(mesmo
), ela converge para
, i.e.\
. Logo
tem raio
. (d) é Verdadeira.
Passo 6
(e) Pelo teste da raiz, se
então o raio de convergência de
é
Isso é exatamente a fórmula de Cauchy–Hadamard. Logo (e) é Verdadeira.
Passo 7
(f) As séries
são, respectivamente, a derivada e uma primitiva de
. É um fato padrão que derivar ou integrar série de potências não altera o raio de convergência. Logo (f) é Verdadeira.
Passo 8
(g) O conjunto de convergência de uma série de potências é sempre um disco
, possivelmente incluindo um ou dois extremos, ou então, se
, apenas o ponto
. Nunca se reduz exatamente a dois pontos distintos. Portanto, (g) é Falsa.
Passo 9
(h) A série
é simplesmente o produto da original por
. Isso não altera o raio de convergência, que permanece
. Logo (h) é Verdadeira.
Passo 10
(i) Seja
Para
, definimos
. A série em
tem raio
, logo em
exige
. A outra série difere apenas por fator
, não altera o raio. Assim ambas têm raio
. (i) é Verdadeira.
Passo 11
(j) Se
tem raio
e
tem raio
, então a série
terá raio
Em geral o raio da soma é o mínimo dos raios individuais. (j) é Verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Verdadeira
(j) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Verdadeira
(j) Verdadeira