Falso ou Verdadeiro? Justifique.
3.4A (a) se sumn=0^infty|cn| é convergente, então sumn=0^infty cn x^n é absolutamente convergente no intervalo [-1,1];
(b) se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo;
(c) se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional;
(d) se R é o raio de convergência de sumn=0^infty cn x^n , então raizR é o raio de convergência de sumn=0^infty cn x^2 n ;
(e) se lim n infty raiz[n]|cn|=L>0 , então a série sumn=0^infty cn(x-a)^n tem raio de convergência 1 / L;
(f) se sumn=0^infty cn(x-a)^n tem raio de convergência R>0, então R também é o raio de convergência das séries sumn=1^infty n cn(x-a)^n-1 e sumn=0^infty cnn+1(x-a)^n+1 ;
(g) uma série de potências sumn=0^infty cn x^n pode convergir apenas em dois valores de x.
(h) se R>0 é o raio de convergência da série sumn=0^infty cn(x-a)^n , então R é também o raio de convergência da série sumn=0^infty cn(x-a)^n+p .
(i) se lim n infty raiz[n]|cn|=L>0 , então as séries sumn=0^infty cn(x-a)^2 n e sumn=0^infty cn(x-a)^2 n+1 têm raio de convergência 1 / raizL ;
(j) Se sumn=0^infty cn x^n tem raio de convergência 2 e sumn=0^infty dn x^n tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de sumn=0^infty(cn+dn) x^n é R=2.

Passo 1

O exercício reúne diversas afirmações sobre séries de potências
sumn=0^infty cn(x-a)^n
e seu intervalo (ou raio) de convergência. Vamos usar:
1. O teste da raiz de Cauchy–Hadamard, que diz que o raio de convergência é
R = 1limsupntoinftyraiz[n]|cn|,
2. Fatos sobre convergência absoluta nos extremos pm R.
3. Propriedade de derivadas e primitivação de séries de potências.

Passo 2

(a) Suponha que sumn=0^infty|cn| concorra. Para cada x com |x|<=1,
sumn=0^infty|cn x^n| =sumn=0^infty|cn|,|x|^n <=sumn=0^infty|cn|<infty
Logo sum cn x^n é absolutamente convergente em [-1,1]. Portanto, (a) é Verdadeira.

Passo 3

(b) Se sum cn x^n é absolutamente convergente em um extremo, digamos x=R, então
sumn=0^infty|cn|R^n<infty
Para o outro extremo x=-R temos
sumn=0^infty|cn|,|-R|^n =sumn=0^infty|cn|R^n<infty,
mesma série de termos positivos. Logo é absolutamente convergente em -R. (b) é Verdadeira.

Passo 4

(c) Se uma série de potências converge em x=R mas diverge em -R, então ela não pode ser absolutamente convergente em R, pois isso implicaria, por (b), convergência absoluta em -R. Logo a convergência em R só pode ser condicional. Assim, (c) é Verdadeira.

Passo 5

(d) Seja
f(x)=sumn=0^infty cn x^n
com raio de convergência R. Considere
g(x)=sumn=0^infty cn x^2n =sumn=0^infty cnl(x^2r)^n
Como a nova série em y=x^2 tem raio R (mesmo cn), ela converge para |y|<R, i.e.\ |x|<raizR. Logo g tem raio raizR. (d) é Verdadeira.

Passo 6

(e) Pelo teste da raiz, se
limntoinftyraiz[n]|cn|=L>0,
então o raio de convergência de sum cn(x-a)^n é
R=1L
Isso é exatamente a fórmula de Cauchy–Hadamard. Logo (e) é Verdadeira.

Passo 7

(f) As séries
sumn=1^infty n,cn(x-a)^n-1 e sumn=0^inftycnn+1(x-a)^n+1
são, respectivamente, a derivada e uma primitiva de sum cn(x-a)^n. É um fato padrão que derivar ou integrar série de potências não altera o raio de convergência. Logo (f) é Verdadeira.

Passo 8

(g) O conjunto de convergência de uma série de potências é sempre um disco ,|x-a|<R, possivelmente incluindo um ou dois extremos, ou então, se R=0, apenas o ponto x=a. Nunca se reduz exatamente a dois pontos distintos. Portanto, (g) é Falsa.

Passo 9

(h) A série
sumn=0^infty cn(x-a)^n+p =(x-a)^psumn=0^infty cn(x-a)^n
é simplesmente o produto da original por (x-a)^p. Isso não altera o raio de convergência, que permanece R. Logo (h) é Verdadeira.

Passo 10

(i) Seja
limntoinftyraiz[n]|cn|=L>0
Para
sum cn(x-a)^2n, definimos y=(x-a)^2. A série em y tem raio 1/L, logo em x exige |x-a|<1/raiz L. A outra série difere apenas por fator (x-a), não altera o raio. Assim ambas têm raio 1/raiz L. (i) é Verdadeira.

Passo 11

(j) Se sum cn x^n tem raio R1=2 e sum dn x^n tem raio R2=3, então a série
sum(cn+dn)x^n terá raio
R=minR1,R2=2
Em geral o raio da soma é o mínimo dos raios individuais. (j) é Verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Verdadeira
(j) Verdadeira

Exercícios relacionados