Considere a função
. Determine:
a) O dominio, os zeros e assintotas.
b) Intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e minimos.
c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
d) Faça um esboço do gráfico.
a) O dominio, os zeros e assintotas.
b) Intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e minimos.
c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
d) Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa de
: domínio, zeros, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar resolução de inequações para o domínio, expansão assintótica para assíntotas oblíquas e derivadas primeira e segunda para monotonia e concavidade.
Passo 2
Para o domínio resolvemos
o que dá
ou
. Assim o domínio é
.
Os zeros ocorrem quando
, logo em
.
Para as assíntotas oblíquas fazemos expansão em
.
Para :
Para
logo a assíntota é
.
Para :
Para
logo a assíntota é
.
Não há assíntotas verticais nem horizontais.
Não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 3
Calculamos a derivada por produto/regra da cadeia:
Como
no domínio, o sinal de
vem de
: é negativo para
e positivo para
. Assim
decresce em
e cresce em
. Nos pontos de fronteira
(onde
) ocorrem mínimos absolutos; não há máximos.
Passo 4
Para a concavidade usamos a segunda derivada:
Como
no domínio, tem-se
em todo domínio. Logo
é côncava para baixo em todo lugar e não há ponto de inflexão.
Passo 5
O esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo
, cada um tocando o ponto
e
com concavidade para baixo. Para
a curva se aproxima de
e para
aproxima-se de
.
Resposta
(a) Domínio
, zeros em
, assíntotas oblíquas
(para
) e
(para
).
(b) Decrescente em , crescente em
; mínimos em
, sem máximos.
(c) Côncava para baixo em todo o domínio, sem ponto de inflexão.
(d) Dois ramos simétricos tocando , concavos para baixo e aproximando-se das retas
e
.
(b) Decrescente em
(c) Côncava para baixo em todo o domínio, sem ponto de inflexão.
(d) Dois ramos simétricos tocando