Considere a função f(x)=raizx^2-4. Determine:
a) O dominio, os zeros e assintotas.
b) Intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e minimos.
c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
d) Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a análise completa de f(x)=raizx^2-4: domínio, zeros, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar resolução de inequações para o domínio, expansão assintótica para assíntotas oblíquas e derivadas primeira e segunda para monotonia e concavidade.

Passo 2

Para o domínio resolvemos
x^2-4>=0,
o que dá x<=-2 ou x>=2. Assim o domínio é (-infty,-2]cup[2,infty).
Os zeros ocorrem quando x^2-4=0, logo em x=pm2.
Para as assíntotas oblíquas fazemos expansão em 1/x.
Para xtoinfty:
raizx^2-4=xraiz1-4x^2approx x-2x,
logo a assíntota é y=x.
Para xto-infty:
raizx^2-4=|x|raiz1-4x^2=-x+2x,
logo a assíntota é y=-x.
Não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 3

Calculamos a derivada por produto/regra da cadeia:
f'(x)=xraizx^2-4
Como raizx^2-4>0 no domínio, o sinal de f'(x) vem de x: é negativo para x<-2 e positivo para x>2. Assim f decresce em (-infty,-2) e cresce em (2,infty). Nos pontos de fronteira x=pm2 (onde f(pm2)=0) ocorrem mínimos absolutos; não há máximos.

Passo 4

Para a concavidade usamos a segunda derivada:
f''(x)=-4(x^2-4)^3/2
Como x^2-4>0 no domínio, tem-se f''(x)<0 em todo domínio. Logo f é côncava para baixo em todo lugar e não há ponto de inflexão.

Passo 5

O esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo y, cada um tocando o ponto (2,0) e (-2,0) com concavidade para baixo. Para xtoinfty a curva se aproxima de y=x e para xto-infty aproxima-se de y=-x.

Resposta

(a) Domínio (-infty,-2]cup[2,infty), zeros em x=pm2, assíntotas oblíquas y=x (para xtoinfty) e y=-x (para xto-infty).
(b) Decrescente em (-infty,-2), crescente em (2,infty); mínimos em (pm2,0), sem máximos.
(c) Côncava para baixo em todo o domínio, sem ponto de inflexão.
(d) Dois ramos simétricos tocando (pm2,0), concavos para baixo e aproximando-se das retas y=x e y=-x.

Exercícios relacionados