Exercício 5. Resolva o problema de Dirichlet para o setor circular:
l ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, em D: r<1,0<theta<pi2 u=0, nos lados theta=0 e theta=pi2 u(1, theta)=theta u=0 u=theta

Passo 1

O enunciado pede a solução de Dirichlet para o setor
D=(r,theta)mid 0<r<1,;0<theta<tfracpi2
sujeita a
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0, u(r,0)=ul(r,tfracpi2r)=0, u(1,theta)=theta
Vamos usar separação de variáveis em coordenadas polares e expandir a condição u(1,theta)=theta numa série de senos que satisfaça as condições homogêneas em theta=0,pi/2.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Substituindo na equação de Laplace em polares e dividindo por RTheta obtemos
r^2R''+rR'R + Theta''Theta=0 ;Longrightarrow; Theta''Theta=-lambda^2, r^2R''+rR'-lambda^2R=0
As condições Theta(0)=Theta(pi/2)=0 implicam num problema de Sturm–Liouville para Theta''+lambda^2Theta=0, cujas autofunções são
Thetan(theta)=sin(lambdantheta), lambdanpi2=npi;Rightarrow;lambdan=2n,;n=1,2,dots ,

Passo 3

Para cada lambdan=2n, a equação radial
r^2R''+rR'-(2n)^2R=0
é uma equação de Euler, cuja solução geral é R(r)=C1r^2n+C2r^-2n. A regularidade em r=0 obriga C2=0, ficando
Rn(r)=r^2n

Passo 4

Pela linearidade, a solução geral que satisfaz u(r,0)=u(r,pi/2)=0 é
u(r,theta)=sumn=1^infty An,r^2nsin(2ntheta)

Passo 5

Impondo u(1,theta)=theta temos a série
theta=sumn=1^infty Ansin(2ntheta) (0<theta<tfracpi2)
Usamos ortogonalidade:
integral0^pi2sin(2mtheta)sin(2ntheta),dtheta =pi4,de<amn,
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An=4piintegral0^pi2thetasin(2ntheta),dtheta
Fazendo integração por partes,
integral0^pi2thetasin(2ntheta),dtheta =-pi(-1)^n4n,
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An =4pil(-pi(-1)^n4nr) =(-1)^n+1n

Passo 6

Substituindo em u(r,theta) obtemos a solução final:
u(r,theta) =sumn=1^infty(-1)^n+1n,r^2nsinl(2nthetar)

Resposta

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