O fasor tensão, aplicado a um circuito em série de R=8 \Omega e X_{c}=6 \Omega é V=50 \mathrm{~L}-90^{\circ} \mathrm{V}. Determinar o triângulo de potências.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série formado por um resistor e um reatância capacitiva, alimentado por uma tensão fasorial. Pergunta: determinar o triângulo de potências (ou seja, potência ativa P, potência reativa Q e potência aparente |S| e ângulo de potência). Dados fornecidos:
R = 8\\ \Omega,\qquad X_{c} = 6\\ \Omega,\qquad V = 50\angle{-90^\circ}\\ \mathrm{V}.
Anotei aqui todas as quantidades que vamos usar: resistência R, reatância capacitiva X_{c} (positiva em módulo, mas com efeito capacitivo), e a tensão fasorial V.

Passo 2

Montando a impedância do ramo série: para um capacitor a reatância entra com sinal negativo na parte imaginária. Portanto
Z = R - jX_{c}.
Substituindo os valores:
Z = 8 - j6.
Agora calculemos módulo e ângulo de Z. O módulo é
|Z| = \sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\\ \Omega.
O ângulo de Z (argumento) é
\angle Z = \arctan\!\left(\frac{\Im(Z)}{\Re(Z)}\right)=\arctan\!\left(\frac{-6}{8}\right)=-36{,}87^\circ.
Podemos então escrever
Z = 10\angle{-36{,}87^\circ}\\ \Omega.

Passo 3

Calcular a corrente do circuito usando a lei de Ohm em fasores: \displaystyle I=\frac{V}{Z}. Para divisão em forma polar fazemos módulo dividido e subtraímos ângulos:
I = \frac{50\angle{-90^\circ}}{10\angle{-36{,}87^\circ}} = 5\angle{(-90^\circ - (-36{,}87^\circ))} = 5\angle{-53{,}13^\circ}\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a corrente tem magnitude 5\\ \mathrm{A} e está atrasada de 53{,}13^\circ em relação à referência de fase da tensão (sinal negativo).

Passo 4

Definição de potências em circuito CA:
  • Potência aparente S (em VA) é o produto fasorial da tensão pelo conjugado da corrente: \displaystyle S = V\,I^{*}.
  • Potência ativa P é a parte real de S: P=\Re(S) (em W).
  • Potência reativa Q é a parte imaginária de S: Q=\Im(S) (em VAR). Para capacitor espera-se Q<0.
Calculemos S. Usando as fases encontradas:
I^{*}=5\angle{+53{,}13^\circ},
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S = 50\angle{-90^\circ}\times 5\angle{+53{,}13^\circ} = 250\angle{-36{,}87^\circ}\\ \mathrm{VA}.
Agora decompondo em P e Q, usando relações trigonométricas (cos e sin do ângulo de S):
P = |S|\cos(\angle S)=250\cos(-36{,}87^\circ)=250\cdot 0{,}8 = 200\\ \mathrm{W},
Q = |S|\sin(\angle S)=250\sin(-36{,}87^\circ)=250\cdot(-0{,}6) = -150\\ \mathrm{VAR}.
Observação de verificação (método alternativo fácil na prova): como I=5\\ \mathrm{A},
P = I^{2}R = 5^{2}\cdot 8 = 25\cdot 8 = 200\\ \mathrm{W},
Q = -I^{2}X_{c} = -25\cdot 6 = -150\\ \mathrm{VAR},
que coincide com o cálculo via S.

Passo 5

Montando o triângulo de potências (interpretação):
  • Eixo horizontal: potência ativa P=200\\ \mathrm{W} (positiva para gerador de potência real).
  • Eixo vertical: potência reativa Q=-150\\ \mathrm{VAR} (negativa, aponta para baixo — indica comportamento capacitivo).
  • Hipotenusa: potência aparente |S|=250\\ \mathrm{VA}.
  • Ângulo de potência \varphi entre S e P é \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{Q}{P}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-150}{200}\right)=-36{,}87^\circ.
    Resumo visual (em palavras): triângulo retângulo com cateto horizontal 200, cateto vertical para baixo 150 (por Q negativo) e hipotenusa 250, ângulo entre hipotenusa e cateto horizontal -36{,}87^\circ.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (passo a passo enxuto):
  1. Escreva Z=R-jX_{c} e calcule |Z| e \angle Z.
  2. Calcule I=V/Z (polares facilitam: divide módulos, subtrai ângulos).
  3. Calcule S=V I^{*} (ou use P=I^{2}R e Q=-I^{2}X_{c} para capacitor).
  4. Monte o triângulo com P (horizontal), Q (vertical, sinal define direção) e |S| (hipotenusa). Força, você consegue fazer isso rapidinho no exame!

Resposta

P=200\\ \mathrm{W}
Q=-150\\ \mathrm{VAR}
|S|=250\\ \mathrm{VA},\\ \angle S=-36{,}87^\circ

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