Mostre que se g interpola f nos pontos x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1} e h interpola f nos pontos x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, então a função abaixo interpola f nos pontos x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}.
g(x)+\frac{x_{0}-x}{x_{n}-x_{0}}(g(x)-h(x))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
g(x)+\frac{x_{0}-x}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x)-h(x)\bigr)
interpola f nos pontos x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}. As informações dadas são:
  • g interpola f nos pontos x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-1}. Ou seja, para i=0,\ldots,n-1 temos g(x_{i})=f(x_{i}).
  • h interpola f nos pontos x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}. Ou seja, para i=1,\ldots,n temos h(x_{i})=f(x_{i}).
    O objetivo é verificar que, avaliada em cada x_{i} com i=0,1,\dots,n, a expressão dada retorna f(x_{i}).

Passo 2

Primeiro vou lembrar, de forma bem direta, o que significa “interpola”: dizer que uma função p interpola f nos pontos x_{0},\dots,x_{m} significa exatamente que, para todo índice i desses pontos,
p(x_{i})=f(x_{i}).
Então aqui queremos mostrar que, para todo i\in\{0,\dots,n\},
g(x_{i})+\frac{x_{0}-x_{i}}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x_{i})-h(x_{i})\bigr)=f(x_{i}).

Passo 3

Avaliação no ponto x_{0}. Substituímos x=x_{0} na expressão:
g(x_{0})+\frac{x_{0}-x_{0}}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x_{0})-h(x_{0})\bigr).
Note que x_{0}-x_{0}=0, portanto a segunda parcela some e ficamos com
g(x_{0}).
Pela hipótese que nos foi dada, g(x_{0})=f(x_{0}). Logo a expressão vale f(x_{0}) em x_{0}.

Passo 4

Avaliação no ponto x_{n}. Substituímos x=x_{n}:
g(x_{n})+\frac{x_{0}-x_{n}}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x_{n})-h(x_{n})\bigr).
Observe que
\frac{x_{0}-x_{n}}{x_{n}-x_{0}}=-1,
pois x_{0}-x_{n}=-(x_{n}-x_{0}). Assim a expressão fica
g(x_{n})- \bigl(g(x_{n})-h(x_{n})\bigr)=h(x_{n}).
Pela hipótese, h(x_{n})=f(x_{n}). Portanto a expressão vale f(x_{n}) em x_{n}.

Passo 5

Avaliação nos pontos interiores x_{k} com k=1,2,\dots,n-1. Para esses índices tanto g quanto h interpolam f, isto é g(x_{k})=f(x_{k}) e h(x_{k})=f(x_{k}). Substituindo x=x_{k} na expressão obtemos
g(x_{k})+\frac{x_{0}-x_{k}}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x_{k})-h(x_{k})\bigr).
Mas g(x_{k})-h(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k})=0, então a segunda parcela é zero e a expressão reduz-se a g(x_{k}), que é f(x_{k}). Portanto para cada k=1,\dots,n-1 a expressão vale f(x_{k}).

Passo 6

Interpretação útil (para a prova): é interessante ver a expressão como uma combinação afim de g e h. Fazendo álgebra:
g(x)+\frac{x_{0}-x}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x)-h(x)\bigr) =\frac{x_{n}-x}{x_{n}-x_{0}}\,g(x)+\frac{x-x_{0}}{x_{n}-x_{0}}\,h(x).
Aqui os coeficientes somam 1 para todo x:
\frac{x_{n}-x}{x_{n}-x_{0}}+\frac{x-x_{0}}{x_{n}-x_{0}}=1.
Isso mostra que a função é uma mistura linear (afim) de g e h que pesa totalmente g em x_{0} e totalmente h em x_{n}, e nos nós intermediários como g e h coincidem com f a mistura também dá f. Essa é uma razão conceitual pela qual a verificação pontual que fizemos nos passos anteriores funciona.

Passo 7

Concluímos que para todo i=0,1,\dots,n a expressão avaliada em x_{i} f(x_{i}). Portanto a função dada interpola f nos pontos x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}.

Resposta

\displaystyle \forall i\in\{0,\dots,n\}:\; g(x_{i})+\frac{x_{0}-x_{i}}{x_{n}-x_{0}}\bigl(g(x_{i})-h(x_{i})\bigr)=f(x_{i})

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