Mostre que se
interpola
nos pontos
e
interpola
nos pontos
, então a função abaixo interpola
nos pontos
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
interpola
nos pontos
. As informações dadas são:
-
interpola nos pontos . Ou seja, para temos . -
interpola nos pontos . Ou seja, para temos .
O objetivo é verificar que, avaliada em cadacom , a expressão dada retorna .
Passo 2
Primeiro vou lembrar, de forma bem direta, o que significa “interpola”: dizer que uma função
interpola
nos pontos
significa exatamente que, para todo índice
desses pontos,
Então aqui queremos mostrar que, para todo
,
Passo 3
Avaliação no ponto
. Substituímos
na expressão:
Note que
, portanto a segunda parcela some e ficamos com
Pela hipótese que nos foi dada,
. Logo a expressão vale
em
.
Passo 4
Avaliação no ponto
. Substituímos
:
Observe que
pois
. Assim a expressão fica
Pela hipótese,
. Portanto a expressão vale
em
.
Passo 5
Avaliação nos pontos interiores
com
. Para esses índices tanto
quanto
interpolam
, isto é
e
. Substituindo
na expressão obtemos
Mas
, então a segunda parcela é zero e a expressão reduz-se a
, que é
. Portanto para cada
a expressão vale
.
Passo 6
Interpretação útil (para a prova): é interessante ver a expressão como uma combinação afim de
e
. Fazendo álgebra:
Aqui os coeficientes somam
para todo
:
Isso mostra que a função é uma mistura linear (afim) de
e
que pesa totalmente
em
e totalmente
em
, e nos nós intermediários como
e
coincidem com
a mistura também dá
. Essa é uma razão conceitual pela qual a verificação pontual que fizemos nos passos anteriores funciona.
Passo 7
Concluímos que para todo
a expressão avaliada em
dá
. Portanto a função dada interpola
nos pontos
.