Um circuito com z_{1}=5+j 0 \Omega em série com um impedância solicita 36,4 \mathrm{VA} com fator de potência 0,856 atrasado. Determinar z_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a impedância \,z_{2}\,:
  • Temos uma impedância conhecida em série: \,z_{1}=5+j0\\ \Omega\,.
  • A combinação em série (ou seja, a impedância total Z_{t}=z_{1}+z_{2}) solicita uma potência aparente de \,36,4\\ \mathrm{VA}\, com fator de potência \,0,856 atrasado.
  • Pergunta: determinar \,z_{2}.

Passo 2

Entender o que significam as grandezas dadas (aula rapidinha e prática):
  • Potência aparente complexa é \,S=P+jQ\,, onde: P=\text{potência ativa (W)},\qquad Q=\text{potência reativa (VAR)}.êê
  • O fator de potência (pf) é \,\mathrm{pf}=\cos\varphi\,, onde \varphi é o ângulo da potência complexa: \,\varphi=\arg(S).
  • A relação entre S, P e Q é simples: P=|S|\cos\varphi,\qquad Q=|S|\sin\varphi.
Aqui |S|=36,4\\ \mathrm{VA} e \mathrm{pf}=0,856 atrasado (logo \varphi>0 e Q>0, indutivo).

Passo 3

Calcular P e Q a partir de |S| e \mathrm{pf}.
Primeiro o cosseno do ângulo é dado, então:
P=|S|\cdot\mathrm{pf}=36,4\cdot 0,856.
Faço a conta passo a passo:
36,4\cdot 0,856=31,1584\\ \text{W}.
Agora o seno do ângulo pode ser obtido por \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-0,856^2}.
\sin\varphi=\sqrt{1-0,856^2}=\sqrt{1-0,732736}=\sqrt{0,267264}=0,517061\\ (\text{aprox.}).
Portanto
Q=|S|\sin\varphi=36,4\cdot 0,517061=18,823\\ \text{VAR (aprox.)}.
Assim a potência complexa é
S=P+jQ=31,1584 + j\,18,823\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Relacionar S com a impedância total Z_{t}.
Sabendo que V=I\cdot Z_{t} e que a potência complexa é S=V I^{*}, substituindo:
S = V I^{*} = (I Z_{t}) I^{*} = |I|^{2} Z_{t}.
Essa fórmula é crucial: \,S = |I|^{2} Z_{t}\,. Ela diz que, para uma dada corrente, a potência complexa é a corrente ao quadrado vezes a impedância total. Note que aqui Z_{t} e S são números complexos (mesma fase).

Passo 5

Escolher uma normalização (o truque prático).
O enunciado não dá nem tensão nem corrente absoluta. Uma forma prática e comum é escolher a corrente de referência |I|=1\\ \mathrm{A}. Justificativa curta: como S=|I|^{2}Z_{t}, se tomarmos |I|=1\\ \mathrm{A} obtemos Z_{t}=S diretamente (ou seja, numericamente os valores de S em VA ficam em ohms quando |I|=1\\ \mathrm{A}). Isso permite achar Z_{t} de forma única a partir dos dados fornecidos. (Se outro valor de corrente fosse imposto, o resultado seria escalado; o enunciado, ao não dar tensão nem corrente, permite usar essa normalização.)
Assim, adotando |I|=1\\ \mathrm{A},
Z_{t}=S=31,1584 + j\,18,823\\ \Omega.

Passo 6

Determinar \,z_{2}=Z_{t}-z_{1}.
Subtraio a impedância conhecida \,z_{1}=5+j0\\ \Omega de Z_{t}:
z_{2}=Z_{t}-z_{1}=(31,1584 + j\,18,823)-(5 + j0).
Real e imaginário separadamente:
\Re(z_{2})=31,1584-5=26,1584,
\Im(z_{2})=18,823-0=18,823.
Arredondando a dois decimais (prática comum),
z_{2}\approx 26,16 + j\,18,82\\ \Omega.

Passo 7

Verificação rápida (confere a lógica):
Se somarmos z_{1} com esse z_{2} obtemos Z_{t} com \Re(Z_{t})=31,1584 e \Im(Z_{t})=18,823. O fator de potência correspondente é
\cos\varphi=\frac{\Re(Z_{t})}{|Z_{t}|}=\frac{31,1584}{\sqrt{31,1584^{2}+18,823^{2}}}\approx 0,856,
coerente com o enunciado.

Resposta

z_{2}=26,16 + j\,18,82\\ \Omega

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