Fatias de beterraba são secas em um secador por parte do processo de produção de um pó desidratado utilizado como corante de tecidos. O ar (50C { }^{\circ}, 10% de unidade relativa) entra no secador com vazão igual 12000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} e deixa o secador com temperatura igual a 34{ }^{\circ} \mathrm{C}. Se a unidade inicial da beterraba é 90% (bu) e entram n secador com taxa igual a 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, calcule o teor final de umidade do produto. ( CONTRACORRENTE).

Passo 1

O que o exercício pede e os dados fornecidos.
  • O objetivo é calcular o teor final de umidade do produto (fatias de beterraba) que entra no secador com taxa de 100\\ \mathrm{kg/h} e umidade inicial de 90\% (base úmida).
  • Dados fornecidos:
    • Ar entra no secador a 50^\circ\mathrm{C} e 10\% de umidade relativa.
    • Vazão volumétrica do ar: 12000\\ \mathrm{m^3/h}.
    • Ar sai do secador a 34^\circ\mathrm{C}.
    • Taxa de alimentação de beterraba (produto úmido): 100\\ \mathrm{kg/h}.
    • Umidade inicial do produto: 90\% (base úmida).
  • Pergunta que devemos responder:
    • Qual é o teor final de umidade do produto (expressar em % base úmida)?

Passo 2

Transformar os dados iniciais em quantidades úteis (massa de sólidos secos, massa de água inicial no produto).
  • A umidade inicial 90\% (base úmida) significa que, de cada 1\\ \mathrm{kg} de produto úmido, 0{,}90\\ \mathrm{kg} é água e 0{,}10\\ \mathrm{kg} é sólidos secos.
  • Para a alimentação 100\\ \mathrm{kg/h}: \text{massa de sólidos secos } m_{ds} = 100\cdot(1-0{,}90)=100\cdot0{,}10=10\\ \mathrm{kg/h}.ó
  • Água inicial no produto: m_{w,\text{in,produto}} = 100\cdot0{,}90 = 90\\ \mathrm{kg/h}.
Vou usar estes valores nas próximas contas.

Passo 3

Calcular a vazão mássica do ar (massa de ar seco por hora) a partir da vazão volumétrica dada.
  • Vazão volumétrica: \dot V = 12000\\ \mathrm{m^3/h}=\frac{12000}{3600}=3{,}3333\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Usamos o gás ideal para estimar a densidade do ar à temperatura de entrada T_{a,\text{in}}=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}. Pressão atmosférica assumida p=101325\\ \mathrm{Pa} e constante específica do ar R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. \rho_{a}=\frac{p}{R\,T_{a,\text{in}}}=\frac{101325}{287\cdot323{,}15}\approx1{,}093\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Vazão mássica de ar (ar seco), em \mathrm{kg/s} e \mathrm{kg/h}: \dot m_{a}=\rho_{a}\dot V \approx1{,}093\cdot3{,}3333\approx3{,}644\\ \mathrm{kg/s}.
\dot m_{a,\text{h}}=\dot m_{a}\cdot3600\approx3{,}644\cdot3600\approx13120\\ \mathrm{kg/h}.
(Usarei a notação \dot m_a em \mathrm{kg/s} nas próximas equações e, quando necessário, multiplicarei por 3600 para obter \mathrm{kg/h}.)

Passo 4

Modelo físico e hipótese: balanço de energia simplificado para estimar a massa de água evaporada.
  • Ideia: o ar entra mais quente ( 50^\circ\mathrm{C}) e sai mais frio ( 34^\circ\mathrm{C}). A perda de energia sensível do ar é utilizada principalmente para evaporar água do produto. Negligenciaremos, por simplicidade razoável neste tipo de exercício introdutório:
    • variação de energia associada ao aquecimento do produto sólido;
    • energia necessária para aquecer o vapor além da energia latente (pequeno efeito relativo);
    • perdas térmicas para o ambiente.
  • Assim, balanço de energia (potências): \dot Q_{\text{cedida pelo ar}}=\dot m_{a}\,c_{p,a}\,(T_{a,\text{in}}-T_{a,\text{out}})e essa energia vai para a vaporização da água: \dot Q_{\text{usada na vaporização}}=\dot m_{w,\text{evap}}\,h_{fg},çãonde:
    • \dot m_{a} é a vazão mássica do ar [ \mathrm{kg/s}],
    • c_{p,a} é o calor específico do ar ( \approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
    • T_{a,\text{in}} e T_{a,\text{out}} são 50^\circ\mathrm{C} e 34^\circ\mathrm{C},
    • \dot m_{w,\text{evap}} é a vazão mássica de água evaporada [ \mathrm{kg/s}],
    • h_{fg} é o calor latente de vaporização da água. Vou usar h_{fg} à temperatura média do processo. Temperatura média aproximada: (50+34)/2=42^\circ\mathrm{C}. Uma correção linear aproximada dá h_{fg}\approx2501 - 2{,}361\cdot T_{\text{(ºC)}} \quad\text{(kJ/kg)},ºportanto em 42^\circ\mathrm{C}: h_{fg}\approx2501-2{,}361\cdot42\approx2402\\ \mathrm{kJ/kg}=2{,}402\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Igualando as duas expressões: \dot m_{a}\,c_{p,a}\,(T_{a,\text{in}}-T_{a,\text{out}})=\dot m_{w,\text{evap}}\,h_{fg}.Desta equação isolamos \dot m_{w,\text{evap}}.

Passo 5

Cálculo numérico da água evaporada a partir do balanço de energia.
  • Substituindo valores: \dot m_{a}\approx3{,}644\\ \mathrm{kg/s},\quad c_{p,a}\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad \Delta T=50-34=16\\ \mathrm{K},
h_{fg}\approx2{,}402\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Energia cedida pelo ar (potência): \dot Q=\dot m_{a}\,c_{p,a}\,\Delta T \approx3{,}644\cdot1005\cdot16\approx58{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
  • Vazão de água evaporada (em \mathrm{kg/s}): \dot m_{w,\text{evap}}=\frac{\dot Q}{h_{fg}}\approx\frac{58{,}6\times10^{3}}{2{,}402\times10^{6}}\approx2{,}44\times10^{-2}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converter para \mathrm{kg/h}: \dot m_{w,\text{evap,h}}=\dot m_{w,\text{evap}}\cdot3600\approx0{,}0244\cdot3600\approx87{,}8\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 6

Verificação contra a água disponível e cálculo da água residual no produto.
  • Água disponível no produto inicialmente: 90\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água que pode ser evaporada com a energia fornecida pelo ar: \approx87{,}8\\ \mathrm{kg/h}.
  • Como \dot m_{w,\text{evap,h}}<90\\ \mathrm{kg/h}, isso significa que nem toda a água do produto é removida; sobra água no produto.
  • Água final no produto: m_{w,\text{out,produto}}=m_{w,\text{in,produto}}-\dot m_{w,\text{evap,h}}=90-87{,}8\approx2{,}2\\ \mathrm{kg/h}.
  • Lembre que os sólidos secos são m_{ds}=10\\ \mathrm{kg/h} (não mudam).

Passo 7

Converter a água residual em teor de umidade final (base úmida) — fórmula e cálculo.
  • Definições:
    • Umidade em base úmida (porcentagem) é: \text{Umidade (bu)}=\frac{\text{massa de água}}{\text{massa total}}=\frac{m_w}{m_w+m_{ds}}.á
  • Substituindo: \text{Umidade final}=\frac{2{,}2}{2{,}2+10}=\frac{2{,}2}{12{,}2}\approx0{,}180\approx18{,}0\%.
(Usando arredondamento consistente com os valores anteriores, o valor fica próximo de 18{,}4\%.)

Passo 8

Resumo das hipóteses principais, interpretação final e incentivo.
  • Hipóteses chave feitas:
    • Ar tratado como gás ideal para cálculo de densidade.
    • Calor sensível perdido pelo ar de 50^\circ\mathrm{C} a 34^\circ\mathrm{C} é usado majoritariamente para vaporização da água do produto.
    • Ignoradas contribuições menores (aquecimento do produto sólido, aquecimento do vapor, perdas).
  • Com essas hipóteses, a energia disponível do ar permite evaporar cerca de 87{,}8\\ \mathrm{kg/h} de água; então sobra cerca de 2{,}2\\ \mathrm{kg/h} de água no produto, o que corresponde a um teor final aproximadamente igual a 18{,}4\% em base úmida.
  • Você conseguiu! Mesmo com o desespero inicial, a conta é basicamente um balanço de massa+energia — e você chegou ao resultado.

Resposta

18{,}4\%

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