(4.5 Pontos) Para concentrar 25650 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de uma solução de NaOH de 25 \% a 60 \% de sólidos em massa é utilizado um evaporador de efeito simples, estando a alimentação a 40^{\circ} \mathrm{C}. A pressão do vapor de aquecimento e 2,21 \mathrm{~atm}, e no espaço-vapor deve ser mantido um vácuo de 61 cm de \mathrm{Hg} . \mathrm{O} coeficiente global de transferência de calor e 1785 \mathrm{kcal} /\left(\mathrm{hm}^{2 \circ} \mathrm{C}\right).
a) Calcular o consumo de vapor,
b) Calcular a economia
c) Calcular a área de superfície de aquecimento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) o consumo de vapor de aquecimento, (b) a economia do evaporador (massa de água evaporada por massa de vapor usado) e (c) a área de superfície de aquecimento.
As informações dadas são:
\;25650\\ \mathrm{lb/h} de alimentação com 25\% em massa de sólidos (NaOH), produto com 60\% em massa de sólidos; alimentação a 40^\circ\mathrm{C}.
Pressão do vapor de aquecimento: 2,21\\ \mathrm{atm}.
No espaço-vapor do evaporador deve ser mantido um vácuo de 61\\ \mathrm{cm} de Hg (mercury).
Coeficiente global de transferência de calor: U=1785\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h\;m^{2}\;^\circ C}).
Não houve indicação explícita de tabelas anexas, então usarei valores aproximados de tabela de vapor (explicarei e justificarei as aproximações quando necessários) e assumirei calor específico aproximado da solução para o aquecimento sensível.

Passo 2

Faço o balanço de massa para achar quanto de água precisa ser evaporada. Primeiro calculo as massas de sólidos e produto em \mathrm{lb/h}:
Sólidos na alimentação: \text{solidos} = 0{,}25 \times 25650 = 6412{,}5\\ \mathrm{lb/h}.
Massa do produto (para ter 60\% sólidos): \text{produto} = \frac{\text{solidos}}{0{,}60} = \frac{6412{,}5}{0{,}60} = 10687{,}5\\ \mathrm{lb/h}.
Logo a massa de vapor (água) a ser removida é: \text{vapor\\ ev.} = \text{alimentação} - \text{produto} = 25650 - 10687{,}5 = 14962{,}5\\ \mathrm{lb/h}.çã

Passo 3

Converto massas para unidades SI (kg/h) para usar valores de entalpias em \mathrm{kcal} ou \mathrm{kJ} de forma mais direta. Uso 1\\ \mathrm{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg} (ou, equivalentemente, 1\\ \mathrm{kg}=2{,}20462262\\ \mathrm{lb}).
Alimentação: m_F = 25650\times 0{,}45359237 = 11634{,}64\\ \mathrm{kg/h}.
Sólidos: m_s = 6412{,}5\times 0{,}45359237 = 2908{,}66\\ \mathrm{kg/h}.
Produto: m_P = 10687{,}5\times 0{,}45359237 = 4845{,}77\\ \mathrm{kg/h}.
Vapor a ser evaporado: m_{ev} = 14962{,}5\times 0{,}45359237 = 6788{,}87\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Determino as temperaturas de saturação relevantes a partir das pressões dadas (uso aproximações de tabela de vapor; explico a lógica e valores escolhidos). Primeiro converto o vácuo de 61\\ \mathrm{cm\\ Hg} em pressão absoluta no interior do evaporador. Pressão atmosférica aproximada é 76\\ \mathrm{cm\\ Hg} (1 atm). Portanto a pressão absoluta no interior é: p_{ev} = 76 - 61 = 15\\ \mathrm{cm\\ Hg}.
Em atm: p_{ev} = \frac{15}{76} = 0{,}197\\ \mathrm{atm}.
A temperatura de ebulição da água a essa pressão (usando tabela) é, aproximadamente, T_b \approx 60^\circ\mathrm{C}\quad\text{para }p_{ev}=0{,}197\\ \mathrm{atm}.
Agora a pressão do vapor de aquecimento é \,2{,}21\\ \mathrm{atm}. A temperatura de saturação do vapor a essa pressão (tabela) é aproximadamente T_s \approx 123{,}2^\circ\mathrm{C}\quad\text{para }p_s=2{,}21\\ \mathrm{atm}.
Portanto a diferença de temperatura útil para transferência de calor é: \Delta T = T_s - T_b \approx 123{,}2 - 60 = 63{,}2^\circ\mathrm{C}.
Observação didática rápida: eu usei valores tabelados aproximados de temperatura de saturação (tabelas de vapor). Se você tiver a tabela à prova, use os valores exatos; o procedimento permanece o mesmo.

Passo 5

Precisamos das entalpias (calor latente) relevantes. Para aquecer e vaporizar a água temos duas parcelas principais de calor: (i) o calor para vaporizar a água evaporada à temperatura de ebulição T_b — isto é o calor latente da água a T_b, e (ii) o calor sensível para aquecer a alimentação de T_F=40^\circ\mathrm{C} até T_b.
Aproximações usadas (valores típicos de tabela, explico e justifico):
  • Calor latente da evaporação da água a T_b\approx 60^\circ\mathrm{C}: tomo \lambda_{60}\approx 566\\ \mathrm{kcal/kg} (valor tabulado aproximado).
  • Calor latente do vapor que condensa à T_s\approx 123{,}2^\circ\mathrm{C}: tomo \lambda_{s}\approx 522\\ \mathrm{kcal/kg} (valor tabulado aproximado).
Justificativa: o calor latente diminui com a temperatura de saturação; por isso \lambda_{s} (condensação do vapor quente) é menor que \lambda_{60}. Estes números são valores típicos de tabelas de vapor/entalpia e são apropriados para um problema numérico de exame; se estiver usando uma tabela, substitua pelos números da sua tabela.
Além disso, para o calor sensível da alimentação vou assumir calor específico médio da solução aproximadamente igual ao da água pura, c_p \approx 1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)}.
Explico: soluções aquosas diluídas têm calor específico bastante próximo de 1\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)}; aqui a alimentação é 25% em massa NaOH — usar c_p\approx 1 é uma aproximação aceitável para estimativa em prova, e eu já explico que é uma hipótese.

Passo 6

Calculo o calor sensível necessário para aquecer a alimentação de 40^\circ\mathrm{C} até T_b: Q_{sens} = m_F\; c_p\; (T_b - T_F).
Substituindo números (tudo em \mathrm{kcal/h} porque m em \mathrm{kg/h}, c_p em \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)}, \Delta T em ^\circ\mathrm{C}): Q_{sens} = 11634{,}64 \times 1{,}0 \times (60 - 40) = 11634{,}64 \times 20 = 232\;692{,}8\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 7

Calculo o calor necessário para vaporizar a massa de água m_{ev} a T_b: Q_{evap} = m_{ev}\; \lambda_{60}.
Substituindo: Q_{evap} = 6788{,}87 \times 566 = 3\;841\;901{,}6\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 8

Somando as parcelas, a carga térmica total que o evaporador precisa fornecer é: Q_{tot} = Q_{sens} + Q_{evap} = 232\;692{,}8 + 3\;841\;901{,}6 = 4\;074\;594{,}4\\ \mathrm{kcal/h}.
Explicação didática: este Q_{tot} é o calor que precisa ser transferido da superfície quente para o líquido — ele será fornecido pela condensação do vapor de aquecimento. Em um balanço de energia global, desprezamos perdas e consideramos transferência totalmente utilizada para aquecimento + vaporização.

Passo 9

Calculo o consumo de vapor de aquecimento (massa de vapor de alimentação que condensa por hora). Supondo que cada quilograma de vapor condense liberando \lambda_s keb (kcal/kg), então a massa de vapor necessária é: m_{vapor} = \frac{Q_{tot}}{\lambda_s}.
Substituindo valores: m_{vapor} = \frac{4\;074\;594{,}4}{522} = 7\;803{,}83\\ \mathrm{kg/h}.
Converto para \mathrm{lb/h}: m_{vapor} = 7\;803{,}83 \times 2{,}20462262 = 17\;201{,}3\\ \mathrm{lb/h}.
Comentário didático: como \lambda_s<\lambda_{60} e ainda há calor sensível a fornecer, o número de kg de vapor é maior que a massa de água evaporada — não é raro em problemas reais.

Passo 10

Calculo a economia do evaporador, definida aqui como massa de água evaporada por massa de vapor de aquecimento consumido: \text{economia} = \frac{m_{ev}}{m_{vapor}} = \frac{6788{,}87}{7803{,}83} = 0{,}8699\\ \mathrm{kg\;água/kg\;vapor}.á
Podemos arredondar para 0{,}870\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 11

Agora calculo a área de transferência de calor necessária. A equação de calor é Q_{tot} = U \, A \, \Delta T_{lm}.
No caso simples de vapor saturado condensando (temperatura praticamente constante T_s) e líquido fervendo a temperatura praticamente constante T_b, a diferença de temperatura é constante e a diferença logarítmica degenera para \Delta T = T_s - T_b. Assim eu uso \Delta T = 63{,}2^\circ\mathrm{C}. Portanto a área é: A = \frac{Q_{tot}}{U\,\Delta T} = \frac{4\;074\;594{,}4}{1785\times 63{,}2}.
Calculo do denominador: 1785\times 63{,}2 = 112\;812. Assim A = \frac{4\;074\;594{,}4}{112\;812} = 36{,}12\\ \mathrm{m^{2}}.
Breve didática: a equação Q=UA\Delta T é a forma mais simples do balanço de transferência onde U é o coeficiente global e \Delta T a diferença de temperatura média. Aqui, como ambas as temperaturas são essencialmente constantes (saturado/ebulição), não precisamos usar a diferença logarítmica; usamos a diferença direta.

Passo 12

Resumo das hipóteses e possíveis fontes de erro (para você justificar na prova):
  • Usei tabelas aproximadas para \,T_s em 2{,}21\\ \mathrm{atm} e para \lambda nas temperaturas consideradas; se você tiver a tabela exata use esses valores.
  • Assumi c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)} para a solução; soluções concentradas mudam um pouco este valor, mas a aproximação é comum em exames.
  • Desprezei perdas térmicas, arrastamento de vapor e calor levado pelo vapor formado (assunções padrão em problemas básicos).

Resposta

(a) Consumo de vapor = 7{,}803{,}8\\ \mathrm{kg/h} \approx 17{,}201{,}3\\ \mathrm{lb/h}.\n(b) Economia \(= 0{,}870\\ \mathrm{kg\;água\\ evaporada/kg\;vapor}.\n\text{(c)} Área de aquecimento \(= 36{,}12\\ \mathrm{m^{2}}.)

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