Sem de fato resolver a equação diferencial dada, determine um limite inferior para o raio de convergência da solução em séries de potência de \left(x^{2}-25\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+y=0 em torno dos pontos ordinários x_{0}=0 e x_{0}=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial
\left(x^{2}-25\right) y^{\prime\prime}+2x\,y^{\prime}+y=0
e pede, sem resolver a EDO, um limite inferior para o raio de convergência da solução em série de potência centrada em dois pontos ordinários: x_{0}=0 e x_{0}=1.
Informações relevantes dadas:
  • A equação completa é \left(x^{2}-25\right) y^{\prime\prime}+2x\,y^{\prime}+y=0.
  • Centros a analisar: x_{0}=0 e x_{0}=1.
  • Não devemos resolver a EDO; apenas determinar um limite inferior para o raio de convergência das séries em torno desses pontos.

Passo 2

Entender o conceito usado para obter o raio de convergência sem resolver: transformar a EDO para a forma padrão e identificar os pontos onde os coeficientes deixam de ser analíticos (singularidades).
Colocar a EDO na forma padrão divide-se por o coeficiente de y^{\prime\prime} (quando não é zero). Assim obtemos
y^{\prime\prime}+P(x)\,y^{\prime}+Q(x)\,y=0,
onde
P(x)=\frac{2x}{x^{2}-25},\qquad Q(x)=\frac{1}{x^{2}-25}.
Explicação do porquê desse passo (didática rápida): para garantir que exista solução em série em torno de x_{0} é necessário que os coeficientes P e Q sejam analíticos (ou seja, tenham expansão em série de potências) em uma vizinhança de x_{0}. O raio de convergência de uma solução em série é pelo menos o raio do maior disco centrado em x_{0} no qual P e Q são analíticos. Portanto, singularidades de P ou Q determinam limites para esse raio.

Passo 3

Encontrar as singularidades (pontos onde P ou Q não são analíticos). Elas ocorrem onde o denominador x^{2}-25 é zero. Resolver
x^{2}-25=0
leva a
x=\pm 5.
Didática: esses pontos são singularidades finitas da EDO (podem ser singulares regulares ou irregulares, não precisamos distinguir aqui). O que interessa para o raio de convergência é que P e Q deixam de ser analíticos em x=\pm 5. No plano complexo, são as singularidades mais próximas (a menos que haja outras singularidades; aqui não há outras finitas).

Passo 4

Usar a regra prática: o raio de convergência de uma solução em série centrada em x_{0} é pelo menos a distância do centro x_{0} até a singularidade finita mais próxima no plano complexo. Portanto calculamos as distâncias de x_{0} até x=5 e x=-5, e tomamos o mínimo.
Para x_{0}=0:
|0-5|=5,\qquad |0-(-5)|=5,
portanto a menor distância até uma singularidade é 5. Logo um limite inferior para o raio de convergência é 5.
Para x_{0}=1:
|1-5|=4,\qquad |1-(-5)|=6,
portanto a menor distância até uma singularidade é 4. Logo um limite inferior para o raio de convergência é 4.
Explicação adicional (didática): usamos distância no plano complexo porque séries de potência e analiticidade são propriedades complexas; mesmo que o problema seja sobre x real, singularidades complexas limitariam o raio se houvesse alguma mais próxima no complexo — aqui as únicas singularidades finitas são reais e já fornecem o limite.

Passo 5

Conclusão e comentário motivador: sem resolver a EDO encontramos limites inferiores diretos e fáceis de calcular — são apenas as distâncias do centro às raízes de x^{2}-25. Esses valores são garantidos pelo teorema que afirma que, em um disco livre de singularidades dos coeficientes, existem soluções analíticas representáveis por séries de potência com raio pelo menos igual ao raio do disco.

Resposta

R_{x_{0}=0}\ge 5
R_{x_{0}=1}\ge 4

Exercícios relacionados