Reescreva a expressão
como uma série de potência cujo termo geral envolva
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas séries e pede que as reescrevamos como uma única série de potências envolvendo
. As séries originais são:
e
O objetivo é obter uma única soma do tipo
, encontrando a expressão de
em termos dos coeficientes
.
Passo 2
Vamos tratar a primeira soma e reindexá‑la para ter potência
. Faço a troca de variável
. Então:
- quando
temos ; - quando
temos ; - e
.
Substituindo na soma:
Aqui cada termo foi reescrito em função de
:
e
.
Passo 3
Agora reindexamos a segunda soma para obter potências
. Faço a troca
. Então:
- quando
temos ; - quando
temos ; - e
.
Substituindo:
Note que essa soma começa em
(porque o termo
virou
).
Passo 4
Agora somamos as duas expressões reindexadas. Escrevendo ambas com potência
Para combinar numa única soma com índice iniciando em
, observamos que o segundo somatório não tem termo em
. Podemos então escrever a soma combinada como
onde
Uma forma compacta muito usada é assumir
o termo
vale zero em
, e assim podemos escrever tudo num único somatório simples.]
Passo 5
Usando a convenção
(ou escrevendo à parte o caso
), o termo geral unificado fica
com
. Portanto a série combinada é