Reescreva a expressão \sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1} como uma série de potência cujo termo geral envolva x^{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas séries e pede que as reescrevamos como uma única série de potências envolvendo x^{k}. As séries originais são:
\sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1}
e
\sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1}.
O objetivo é obter uma única soma do tipo \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k}, encontrando a expressão de a_k em termos dos coeficientes c_n.

Passo 2

Vamos tratar a primeira soma e reindexá‑la para ter potência x^{k}. Faço a troca de variável k=n-1. Então:
  • quando n=1 temos k=0;
  • quando n\to\infty temos k\to\infty;
  • e n=k+1.
Substituindo na soma:
\sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1} = \sum_{k=0}^{\infty} 2 (k+1) c_{k+1} x^{k}.
Aqui cada termo foi reescrito em função de k: n=k+1 e x^{n-1}=x^{k}.

Passo 3

Agora reindexamos a segunda soma para obter potências x^{k}. Faço a troca k=n+1. Então:
  • quando n=0 temos k=1;
  • quando n\to\infty temos k\to\infty;
  • e n=k-1.
Substituindo:
\sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1} = \sum_{k=1}^{\infty} 6 c_{k-1} x^{k}.
Note que essa soma começa em k=1 (porque o termo n=0 virou k=1).

Passo 4

Agora somamos as duas expressões reindexadas. Escrevendo ambas com potência x^{k}\): \[\sum_{k=0}^{\infty} 2 (k+1) c_{k+1} x^{k} \;+\; \sum_{k=1}^{\infty} 6 c_{k-1} x^{k}.
Para combinar numa única soma com índice iniciando em k=0, observamos que o segundo somatório não tem termo em k=0. Podemos então escrever a soma combinada como
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(2(k+1)c_{k+1} + b_k\bigr)x^{k},
onde
b_k=\begin{cases} 0, & k=0,\\[4pt] 6c_{k-1}, & k\ge 1. \end{cases}
Uma forma compacta muito usada é assumir c_{-1}=0\]. Com essa convenção \(c_{-1}=0 o termo 6c_{k-1} vale zero em k=0, e assim podemos escrever tudo num único somatório simples.]

Passo 5

Usando a convenção c_{-1}=0 (ou escrevendo à parte o caso k=0), o termo geral unificado fica
a_k = 2(k+1)c_{k+1} + 6 c_{k-1}, \qquad k\ge 0,
com c_{-1}=0. Portanto a série combinada é
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(2(k+1)c_{k+1}+6c_{k-1}\bigr)x^{k}.

Resposta

\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(2(k+1)c_{k+1}+6c_{k-1}\bigr)x^{k}, \qquad\text{com }c_{-1}=0.

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