Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as séries de potência indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a série de potência
e pede duas coisas:
- Determinar o raio de convergência
. - Determinar o intervalo de convergência (no eixo real), isto é, para quais
a série converge.
Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes da série são
(para ). - A série está centrada em
(é uma série da forma ).
Passo 2
Vamos recordar uma ferramenta padrão para séries de potência: para a série
, o raio de convergência
pode ser encontrado por
Explicando isso de forma simples: a ideia é verificar o comportamento da raiz enésima dos coeficientes
. Se
tende a um número
, então os termos dominantes se comportam como
e a série converge quando
e diverge quando
. O uso do
cobre casos em que a sequência de raízes não tem limite simples.
Neste problema temos
. Calcular a raiz enésima:
Agora precisamos do limite quando
de
. É um fato padrão (pode-se ver tomando logaritmo) que
Portanto
Como a sequência tem limite, o
é
. Logo, pelo fórmula do raio,
Passo 3
Interpretação imediata: a série converge absolutamente para todos os
com
ou seja no intervalo aberto
. Agora precisamos testar os pontos finais
separadamente, porque o teste da raiz só dá o raio em si.
Passo 4
Testando o endpoint
.
Substituindo
na série obtemos
Esta é a série harmônica conhecida, que diverge. Uma maneira de ver isso rapidamente é lembrar que a soma parcial
cresce sem limite (ou usar comparação com integral). Portanto, para
a série diverge.
Passo 5
Testando o endpoint
.
Substituindo
obtemos
Esta é a série harmônica alternada. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz), que diz: se
é uma sequência positiva, monotona decrescente para
(isto é,
), então
converge.
Aqui
. Verificações:
-
para todo . -
, então é decrescente. -
.
Logo, por Leibniz,
converge. Observação extra (útil na prova): a convergência é condicional, pois a série dos valores absolutos é
, que diverge; logo não há convergência absoluta neste endpoint.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- Raio de convergência:
. - Convergência para
(convergência absoluta). - Em
a série diverge. - Em
a série converge (condicionalmente).
Resposta
O intervalo de convergência é