Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as séries de potência indicadas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n}x^{n}
e pede duas coisas:
  • Determinar o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo de convergência (no eixo real), isto é, para quais x\in\mathbb{R} a série converge.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{2^{n}}{n} (para n\ge 1).
  • A série está centrada em 0 (é uma série da forma \sum a_n x^n).

Passo 2

Vamos recordar uma ferramenta padrão para séries de potência: para a série \sum a_n x^n, o raio de convergência R pode ser encontrado por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicando isso de forma simples: a ideia é verificar o comportamento da raiz enésima dos coeficientes a_n. Se \sqrt[n]{|a_n|} tende a um número L, então os termos dominantes se comportam como L^n e a série converge quando |x|<1/L e diverge quando |x|>1/L. O uso do \limsup cobre casos em que a sequência de raízes não tem limite simples.
Neste problema temos a_n=\dfrac{2^{n}}{n}. Calcular a raiz enésima:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n}}=\frac{2}{n^{1/n}}.
Agora precisamos do limite quando n\to\infty de n^{1/n}. É um fato padrão (pode-se ver tomando logaritmo) que
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{1/n}}=2.
Como a sequência tem limite, o \limsup é 2. Logo, pelo fórmula do raio,
R=\frac{1}{2}.

Passo 3

Interpretação imediata: a série converge absolutamente para todos os x com
|x|<R=\frac{1}{2},
ou seja no intervalo aberto \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). Agora precisamos testar os pontos finais x=\pm \tfrac{1}{2} separadamente, porque o teste da raiz só dá o raio em si.

Passo 4

Testando o endpoint x=\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=\tfrac{1}{2} na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Esta é a série harmônica conhecida, que diverge. Uma maneira de ver isso rapidamente é lembrar que a soma parcial 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\cdots+\tfrac{1}{n} cresce sem limite (ou usar comparação com integral). Portanto, para x=\tfrac{1}{2} a série diverge.

Passo 5

Testando o endpoint x=-\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=-\tfrac{1}{2} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Esta é a série harmônica alternada. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz), que diz: se (b_n) é uma sequência positiva, monotona decrescente para 0 (isto é, b_n\downarrow 0), então \sum (-1)^n b_n converge.
Aqui b_n=\dfrac{1}{n}. Verificações:
  • b_n>0 para todo n.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}=b_n, então é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Logo, por Leibniz, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n} converge. Observação extra (útil na prova): a convergência é condicional, pois a série dos valores absolutos é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge; logo não há convergência absoluta neste endpoint.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • Raio de convergência: R=\dfrac{1}{2}.
  • Convergência para |x|<\dfrac{1}{2} (convergência absoluta).
  • Em x=\dfrac{1}{2} a série diverge.
  • Em x=-\dfrac{1}{2} a série converge (condicionalmente).

Resposta

R=\dfrac{1}{2}
O intervalo de convergência é \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)

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