O que é o fator de amplificação? Esboce o gráfico do fator de amplificação.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o fator de amplificação e pede um esboço de seu gráfico. Vamos trabalhar aqui com sistemas lineares invariantes no tempo (por exemplo, filtros) e sua resposta em frequência. O que precisamos: conhecer a função de transferência H(j\omega) de um sistema e então extrair o módulo dela, que é o nosso fator de amplificação em função da frequência.

Passo 2

Definição geral do fator de amplificação
Em qualquer sistema linear, se aplicamos na entrada um seno de frequência \omega e amplitude V_{\rm in}, obtemos na saída um seno da mesma frequência e amplitude V_{\rm out}(\omega). O fator de amplificação K(\omega) é dado por
K(\omega) \;=\; \frac{V_{\rm out}(\omega)}{V_{\rm in}} \;=\;\bigl|H(j\omega)\bigr|
onde H(j\omega) é a função de transferência avaliada em s=j\omega.

Passo 3

Exemplo de um filtro passa-baixos de 1ª ordem
Considere
H(j\omega)=\frac{K_0}{1 + j\,\frac{\omega}{\omega_c}},
onde K_0 é o ganho em baixa frequência e \omega_c a frequência de corte. O módulo é
K(\omega)=\bigl|H(j\omega)\bigr| =\frac{K_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^2}}.

Passo 4

Análise dos limites
  • Para \omega\ll\omega_c: \omega/\omega_c\approx0, logo K(\omega)\approx \frac{K_0}{1}=K_0.
  • Em \omega=\omega_c: K(\omega_c)=\frac{K_0}{\sqrt{2}}\approx0,707\,K_0.
  • Para \omega\gg\omega_c: \omega/\omega_c\gg1, então K(\omega)\approx \frac{K_0}{\omega/\omega_c} =K_0\;\frac{\omega_c}{\omega}\quad\propto\frac{1}{\omega}.

Passo 5

Esboço do gráfico de K(\omega) versus \omega (eixo horizontal em escala linear ou logarítmica):
K(ω)
  ↑
K₀│─────────────                         
  │            \                        
  │             \                       
  │              \                      
  │               \                     
  │                \                    
  │                 \                   
  │                  \                  
  │                   \                 
  +───────────────────→ ω
         ωc
Neste esboço, para \omega<\omega_c o ganho fica próximo de K_0; em \omega=\omega_c ocorre o “joelho” e, para \omega>\omega_c, o ganho decai aproximadamente com 1/\omega.

Resposta

O fator de amplificação é o módulo da função de transferência em frequência,
K(\omega)=\bigl|H(j\omega)\bigr| =\frac{V_{\rm out}(\omega)}{V_{\rm in}},
e seu gráfico típico em um filtro de 1ª ordem mostra uma região de ganho constante K_0 até \omega_c e depois um decaimento em proporção a 1/\omega, conforme o esboço acima.

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