O fator de compressibilidade
é definido por
.
a) Mostre que para um gás ideal,
.
b) Discuta qualitativamente, com base em forças intermoleculares, por que gases reais podem apresentar
ou
.
c) Dê um exemplo de um gás que apresente
a baixas pressões e explique o motivo.
a) Mostre que para um gás ideal,
b) Discuta qualitativamente, com base em forças intermoleculares, por que gases reais podem apresentar
c) Dê um exemplo de um gás que apresente
Passo 1
O enunciado nos dá a definição do fator de compressibilidade
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que para um gás ideal vale
. - (b) Discutir qualitativamente, com base em forças intermoleculares, por que gases reais podem apresentar
ou . - (c) Dar um exemplo de um gás que apresente
a baixas pressões e explicar o motivo.
Observação importante sobre notação (para evitar confusão): vou interpretar
como a quantidade de substância em mols (símbolo usualmente
em muitos textos). Assim
é a constante universal dos gases e
é o volume molar específico usado na expressão de forma que
. Com essa interpretação as fórmulas abaixo ficam consistentes com a lei dos gases ideais padrão.
Passo 2
Relembrando a lei dos gases ideais (a fórmula fundamental que relaciona pressão, volume e temperatura para um gás ideal):
onde
é a pressão,
é o volume (do conjunto considerado),
é o número de mols,
é a constante dos gases e
é a temperatura absoluta.
Agora substituímos essa relação na definição de
. Começando da definição:
Usando
no numerador temos
Simplificando
no numerador e denominador:
Observação: aqui aparece
porque no enunciado
foi dado com o fator
. Se interpretarmos
no enunciado como volume molar (isto é, volume por mol, normalmente indicado por
ou
) e
como número de mols, então a expressão usual do fator de compressibilidade é
e usando
para gás ideal obtemos diretamente
Portanto, com a interpretação padrão (usar volume molar
e
como unidade de 1 mol), para o gás ideal vale
.
(Resumo útil: o que importa é que a lei dos gases ideais dá
quantidade de mols; com a definição molar de
isso reduz a 1.)
Passo 3
Explicando didaticamente o que
mede e por que é útil:
- O fator de compressibilidade
mede a razão entre o comportamento real do gás e o comportamento ideal esperado pela lei dos gases ideais. - Se
o gás comporta-se exatamente como um gás ideal nas condições dadas. - Se
há desvios: significa que, à mesma e , a pressão observada é menor que a prevista pelo gás ideal; significa que a pressão observada é maior.
Física por trás disso: a lei dos gases ideais assume partículas pontuais sem interação entre si (exceto colisões elásticas). Gases reais têm duas características não-ideais importantes:
- Interações intermoleculares (atração e repulsão).
- Volume finito das moléculas (não são pontos).
Essas duas características alteram a pressão efetiva exercida nas paredes e, consequentemente, mudam
.
Passo 4
Explicação qualitativa baseada em forças intermoleculares (por quê
ou
) — passo a passo e em linguagem simples:
-
Por que
(pressão real menor que a ideal)? - Quando as forças atrativas entre moléculas predominam, cada molécula ao se mover sofre uma atração média das suas vizinhas. Isso reduz o momento perpendicular com que elas atingem as paredes do recipiente (as colisões entregam menos impulso às paredes), o que se manifesta como uma pressão menor do que a prevista pelo gás ideal.
- Assim, atrações efetivas entre moléculas “puxam” as moléculas para dentro, diminuindo a pressão; isso dá
.
-
Por que
(pressão real maior que a ideal)? - Quando as moléculas estão muito próximas (pressões altas ou volumes pequenos), o volume finito das moléculas e as forças repulsivas de curto alcance (devido à sobreposição de nuvens eletrônicas, construção de volume excluído) fazem com que as moléculas não possam se aproximar tanto quanto o modelo ideal permitiria. Isso aumenta as colisões efetivas e o impulso transferido às paredes comparado ao previsto sem volume molecular, elevando a pressão.
- Assim, efeitos de exclusão de volume e repulsões de curta distância levam a
.
-
Em resumo: atração → reduz pressão →
; repulsão/volume excluído → aumenta pressão → . A dominância de um efeito sobre o outro depende de temperatura e densidade (pressão).
Passo 5
Uma forma semi-quantitativa e pedagógica de ver essa competição é através de modelos simples (ex.: equação de van der Waals) ou da expansão em série (expansão de virial). Vou mostrar ambos de maneira enxuta para dar intuição:
- Van der Waals (forma escrita em termos de número de mols
):
onde
representa a intensidade das atrações e
representa o “volume excluído” por mol. Isolando
:
O fator de compressibilidade (na forma usual
com
) fica
Para densidades baixas (
grande) podemos expandir em pequena densidade
e obter heuristicamente
Dessa expressão aproximada vê‑se claramente a competição:
- O termo
(positivo) vem do volume excluído → tende a aumentar . - O termo
(negativo, porque ) vem das atrações → tende a diminuir . - Se
(isto é, atrações relativamente fortes ou temperatura relativamente baixa) o coeficiente da ordem- é negativo → a baixas densidades; caso contrário, .
- Virial (forma conceitual): a expansão em potências da densidade dá
onde
é o segundo coeficiente virial, função da temperatura. Se
(atrações dominantes naquela
) então logo após o vácuo
; se
então
.
Essas duas vistas mostram por que um mesmo gás pode ter regiões com
(atrações dominantes em temperaturas mais baixas/pressões moderadas) e regiões com
(repulsões/volume excluído dominantes em pressões altas).
Passo 6
Discussão final e intuição experimental:
- A curvas típicas de
versus pressão a uma temperatura fixa costumam mostrar, para gases que condensam facilmente, um mínimo com em pressões moderadas (atrações dominantes), seguido por aumento para em pressões maiores (efeito do volume molecular). - A temperatura controla esse comportamento: a temperaturas muito altas as atrações ficam menos importantes e
tende a ficar >=1 mais cedo; a temperaturas próximas à condensação/critica as atrações são fortes e fica bem abaixo de 1 em certa faixa de pressão.
Passo 7
Exemplo pedido (parte c) com explicação simples e concreta:
- Um exemplo clássico é o dióxido de carbono,
, em condições próximas à temperatura ambiente: a baixas a moderadas pressões (antes de efeitos de alta pressão dominarem), frequentemente apresenta . - Motivo:
é relativamente “facilmente condensável” e suas atrações intermoleculares (forças de dispersão e interações multipolares, p.ex. quadrupolo) são suficientemente fortes para reduzir a pressão efetiva em comparação ao modelo ideal. Essa atração efetiva entre moléculas diminui o impulso nas paredes e, assim, dá em uma faixa de pressões baixas‑moderadas. À medida que a pressão aumenta muito, o efeito de volume molecular/repulsão acaba predominando e sobe para .
Resposta
(a)
para um gás ideal, pois pela lei dos gases ideais
e portanto
.\n
(b) ocorre quando forças intermoleculares atrativas predominam (reduzem a pressão efetiva);
ocorre quando efeitos de volume molecular e repulsões de curto alcance predominam (aumentam a pressão efetiva). A competição entre atração e exclusão de volume determina o sinal do desvio.\n
(c) Exemplo: . A baixas‑moderadas pressões e temperaturas próximas à ambiente, as atrações intermoleculares (dispersão e interações multipolares) dominam, reduzindo a pressão real e causando
.
(b)
(c) Exemplo: