O fator de compressibilidade Z é definido por Z=P V m / R T.
a) Mostre que para um gás ideal, Z=1.
b) Discuta qualitativamente, com base em forças intermoleculares, por que gases reais podem apresentar Z<1 ou Z>1.
c) Dê um exemplo de um gás que apresente Z<1 a baixas pressões e explique o motivo.

Passo 1

O enunciado nos dá a definição do fator de compressibilidade
Z = \frac{P V m}{R T},
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que para um gás ideal vale Z=1.
  • (b) Discutir qualitativamente, com base em forças intermoleculares, por que gases reais podem apresentar Z<1 ou Z>1.
  • (c) Dar um exemplo de um gás que apresente Z<1 a baixas pressões e explicar o motivo.
Observação importante sobre notação (para evitar confusão): vou interpretar m como a quantidade de substância em mols (símbolo usualmente n em muitos textos). Assim R é a constante universal dos gases e V é o volume molar específico usado na expressão de forma que \tfrac{P V m}{R T}=\tfrac{P V_{\text{total}}}{R T}. Com essa interpretação as fórmulas abaixo ficam consistentes com a lei dos gases ideais padrão.

Passo 2

Relembrando a lei dos gases ideais (a fórmula fundamental que relaciona pressão, volume e temperatura para um gás ideal):
P V = m R T,
onde P é a pressão, V é o volume (do conjunto considerado), m é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta.
Agora substituímos essa relação na definição de Z. Começando da definição:
Z=\frac{P V m}{R T}.
Usando P V = m R T no numerador temos
Z=\frac{(m R T)\, m}{R T}.
Simplificando R T no numerador e denominador:
Z=\frac{m\cancel{R T}}{\cancel{R T}}=m.
Observação: aqui aparece m porque no enunciado Z foi dado com o fator m. Se interpretarmos V no enunciado como volume molar (isto é, volume por mol, normalmente indicado por \bar V ou v) e m como número de mols, então a expressão usual do fator de compressibilidade é
Z=\frac{P \bar V}{R T},
e usando P\bar V=R T para gás ideal obtemos diretamente
Z=1.
Portanto, com a interpretação padrão (usar volume molar \bar V e m como unidade de 1 mol), para o gás ideal vale \;Z=1.
(Resumo útil: o que importa é que a lei dos gases ideais dá P V / (R T)= quantidade de mols; com a definição molar de V isso reduz a 1.)

Passo 3

Explicando didaticamente o que Z mede e por que é útil:
  • O fator de compressibilidade Z mede a razão entre o comportamento real do gás e o comportamento ideal esperado pela lei dos gases ideais.
  • Se Z=1 o gás comporta-se exatamente como um gás ideal nas condições dadas.
  • Se Z\neq 1 há desvios: Z<1 significa que, à mesma T e V, a pressão observada é menor que a prevista pelo gás ideal; Z>1 significa que a pressão observada é maior.
Física por trás disso: a lei dos gases ideais assume partículas pontuais sem interação entre si (exceto colisões elásticas). Gases reais têm duas características não-ideais importantes:
  1. Interações intermoleculares (atração e repulsão).
  2. Volume finito das moléculas (não são pontos).
Essas duas características alteram a pressão efetiva exercida nas paredes e, consequentemente, mudam Z.

Passo 4

Explicação qualitativa baseada em forças intermoleculares (por quê Z<1 ou Z>1) — passo a passo e em linguagem simples:
  • Por que Z<1 (pressão real menor que a ideal)?
    • Quando as forças atrativas entre moléculas predominam, cada molécula ao se mover sofre uma atração média das suas vizinhas. Isso reduz o momento perpendicular com que elas atingem as paredes do recipiente (as colisões entregam menos impulso às paredes), o que se manifesta como uma pressão menor do que a prevista pelo gás ideal.
    • Assim, atrações efetivas entre moléculas “puxam” as moléculas para dentro, diminuindo a pressão; isso dá Z<1.
  • Por que Z>1 (pressão real maior que a ideal)?
    • Quando as moléculas estão muito próximas (pressões altas ou volumes pequenos), o volume finito das moléculas e as forças repulsivas de curto alcance (devido à sobreposição de nuvens eletrônicas, construção de volume excluído) fazem com que as moléculas não possam se aproximar tanto quanto o modelo ideal permitiria. Isso aumenta as colisões efetivas e o impulso transferido às paredes comparado ao previsto sem volume molecular, elevando a pressão.
    • Assim, efeitos de exclusão de volume e repulsões de curta distância levam a Z>1.
  • Em resumo: atração → reduz pressão → Z<1; repulsão/volume excluído → aumenta pressão → Z>1. A dominância de um efeito sobre o outro depende de temperatura e densidade (pressão).

Passo 5

Uma forma semi-quantitativa e pedagógica de ver essa competição é através de modelos simples (ex.: equação de van der Waals) ou da expansão em série (expansão de virial). Vou mostrar ambos de maneira enxuta para dar intuição:
  1. Van der Waals (forma escrita em termos de número de mols m):
\left(P + a\frac{m^{2}}{V^{2}}\right)\bigl(V - b m\bigr) = m R T,
onde a>0 representa a intensidade das atrações e b>0 representa o “volume excluído” por mol. Isolando P:
P=\frac{m R T}{V - b m} - a\frac{m^{2}}{V^{2}}.
O fator de compressibilidade (na forma usual Z=\tfrac{P \bar V}{R T} com \bar V=V/m) fica
Z = \frac{P \bar V}{R T} = \frac{\bar V}{\bar V - b} - \frac{a}{R T \bar V}.
Para densidades baixas ( \bar V grande) podemos expandir em pequena densidade \rho=\tfrac{m}{V} e obter heuristicamente
Z \approx 1 + \bigl(b - \tfrac{a}{R T}\bigr)\rho + \cdots.
Dessa expressão aproximada vê‑se claramente a competição:
  • O termo b\rho (positivo) vem do volume excluído → tende a aumentar Z.
  • O termo -\tfrac{a}{R T}\rho (negativo, porque a>0) vem das atrações → tende a diminuir Z.
  • Se \tfrac{a}{R T} > b (isto é, atrações relativamente fortes ou temperatura relativamente baixa) o coeficiente da ordem- \rho é negativo → Z<1 a baixas densidades; caso contrário, Z>1.
  1. Virial (forma conceitual): a expansão em potências da densidade dá
Z = 1 + B(T)\frac{m}{V} + C(T)\left(\frac{m}{V}\right)^{2} + \cdots,
onde B(T) é o segundo coeficiente virial, função da temperatura. Se B(T)<0 (atrações dominantes naquela T) então logo após o vácuo Z<1; se B(T)>0 então Z>1.
Essas duas vistas mostram por que um mesmo gás pode ter regiões com Z<1 (atrações dominantes em temperaturas mais baixas/pressões moderadas) e regiões com Z>1 (repulsões/volume excluído dominantes em pressões altas).

Passo 6

Discussão final e intuição experimental:
  • A curvas típicas de Z versus pressão a uma temperatura fixa costumam mostrar, para gases que condensam facilmente, um mínimo com Z<1 em pressões moderadas (atrações dominantes), seguido por aumento para Z>1 em pressões maiores (efeito do volume molecular).
  • A temperatura controla esse comportamento: a temperaturas muito altas as atrações ficam menos importantes e Z tende a ficar >=1 mais cedo; a temperaturas próximas à condensação/critica as atrações são fortes e Z fica bem abaixo de 1 em certa faixa de pressão.

Passo 7

Exemplo pedido (parte c) com explicação simples e concreta:
  • Um exemplo clássico é o dióxido de carbono, \mathrm{CO}_2, em condições próximas à temperatura ambiente: a baixas a moderadas pressões (antes de efeitos de alta pressão dominarem), \mathrm{CO}_2 frequentemente apresenta Z<1.
  • Motivo: \mathrm{CO}_2 é relativamente “facilmente condensável” e suas atrações intermoleculares (forças de dispersão e interações multipolares, p.ex. quadrupolo) são suficientemente fortes para reduzir a pressão efetiva em comparação ao modelo ideal. Essa atração efetiva entre moléculas diminui o impulso nas paredes e, assim, dá Z<1 em uma faixa de pressões baixas‑moderadas. À medida que a pressão aumenta muito, o efeito de volume molecular/repulsão acaba predominando e Z sobe para >1.

Resposta

(a) Z=1 para um gás ideal, pois pela lei dos gases ideais P V = m R T e portanto Z=\dfrac{P V m}{R T}=1.\n
(b) Z<1 ocorre quando forças intermoleculares atrativas predominam (reduzem a pressão efetiva); Z>1 ocorre quando efeitos de volume molecular e repulsões de curto alcance predominam (aumentam a pressão efetiva). A competição entre atração e exclusão de volume determina o sinal do desvio.\n
(c) Exemplo: \mathrm{CO}_2. A baixas‑moderadas pressões e temperaturas próximas à ambiente, as atrações intermoleculares (dispersão e interações multipolares) dominam, reduzindo a pressão real e causando Z<1.

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