Fator Comum
5 a^{3} b-10 a b^{2}+15 a^{2} b

Passo 1

O enunciado pede para fatorar por fator comum a expressão dada. A expressão que temos é:
5 a^{3} b - 10 a b^{2} + 15 a^{2} b.
Pergunta implícita: escrever essa expressão como um produto de um fator comum e um polinômio (ou seja, extrair o máximo fator comum).

Passo 2

Identificar o maior fator numérico comum entre os coeficientes 5, -10 e 15.
  • A forma mais simples de ver o máximo divisor comum é olhar os fatores primos:
    • 5 = 5
    • -10 = -1\cdot 2\cdot 5
    • 15 = 3\cdot 5
  • O único primo comum a todos é 5. Logo o maior fator numérico comum é 5.
Portanto, do ponto de vista numérico, podemos pelo menos fatorar 5.

Passo 3

Identificar o fator comum em relação às variáveis a e b.
  • Olhar os expoentes de a em cada termo:
    • em 5a^{3}b o expoente de a é 3,
    • em -10ab^{2} o expoente de a é 1,
    • em 15a^{2}b o expoente de a é 2.
      O expoente comum mínimo é 1. Então a (ou a^{1}) é fator comum.
  • Olhar os expoentes de b em cada termo:
    • em 5a^{3}b o expoente de b é 1,
    • em -10ab^{2} o expoente de b é 2,
    • em 15a^{2}b o expoente de b é 1.
      O expoente comum mínimo é 1. Então b (ou b^{1}) é fator comum.
Portanto, o maior fator comum em variáveis é ab.

Passo 4

Combinar o fator numérico e o fator de variáveis para obter o fator comum total.
  • Do passo 2 temos 5.
  • Do passo 3 temos ab.
    Logo o fator comum total é
5ab.

Passo 5

Dividir cada termo da expressão original pelo fator comum 5ab para obter o polinômio que ficará dentro do parêntese.
Fazer as divisões termo a termo:
\frac{5a^{3}b}{5ab} = a^{2},
\frac{-10ab^{2}}{5ab} = -2b,
\frac{15a^{2}b}{5ab} = 3a.
Assim, cada termo foi reduzido corretamente.

Passo 6

Escrever a expressão fatorada reunindo o fator comum 5ab e o polinômio resultado das divisões.
A forma fatorada é
5ab\bigl(a^{2} - 2b + 3a\bigr).
Se preferir ordenar em potências decrescentes de a, pode rearranjar os termos dentro do parêntese sem alterar o valor:
5ab\bigl(a^{2} + 3a - 2b\bigr).
Ambas representam a mesma fatoração; normalmente preferimos a forma com termos ordenados por grau.

Resposta

5ab\bigl(a^{2} + 3a - 2b\bigr)

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