Fator Comum
3 y^{4}+6 y^{2}-9 y

Passo 1

O enunciado pede para fatorizar o polinômio abaixo (ou seja, escrever como produto de fatores):
3 y^{4}+6 y^{2}-9 y.
Informações dadas (cada termo do polinômio):
  • Primeiro termo: \;3 y^{4}.
  • Segundo termo: \;6 y^{2}.
  • Terceiro termo: -9 y.
O que se espera: retirar um fator comum a todos os termos e, se possível, fatorar mais o que sobrar.

Passo 2

Entendendo o que é “fator comum” (aulas rápidas):
  • Entre os coeficientes numéricos 3, 6 e -9 devemos pegar o divisor comum máximo (MDC). Aqui o MDC é 3 porque 3 divide 3, 6 e -9, e nenhum número maior que 3 divide todos eles.
  • Entre as potências da variável y em \;y^{4},y^{2},y^{1} o fator em comum é y elevado ao menor expoente presente, que é \min(4,2,1)=1. Logo o fator em y que todos têm é y^{1}=y.
    Portanto o fator comum numérico+variável é
3y.

Passo 3

Agora fatoramos 3y do polinômio dividindo cada termo por 3y. Faço cada divisão passo a passo:
\frac{3y^{4}}{3y}=y^{3}, \qquad \frac{6y^{2}}{3y}=2y, \qquad \frac{-9y}{3y}=-3.
Então escrevendo o polinômio com o fator comum destacado:
3 y^{4}+6 y^{2}-9 y = 3y\bigl(y^{3}+2y-3\bigr).

Passo 4

Verificação rápida (distribuição): multiplicando 3y pelos termos dentro dos parênteses obtemos novamente 3y\cdot y^{3}=3y^{4}, 3y\cdot 2y=6y^{2}, 3y\cdot(-3)=-9y. Está correto.

Passo 5

Agora vamos checar se o polinômio do parêntesis \;y^{3}+2y-3 pode ser fatorado mais (fatoração completa). Usamos o Teorema das Raízes Racionais: possíveis raízes racionais são divisores do termo constante -3 sobre divisores do coeficiente líder 1, logo as candidatas são \pm1,\pm3.
Testo y=1:
1^{3}+2\cdot1-3 = 1+2-3 = 0.
Como y=1 zera o polinômio, (y-1) é um fator.

Passo 6

Divido \;y^{3}+2y-3 por (y-1) para obter o quociente. Usando divisão sintética com coeficientes 1,0,2,-3 (observe o coeficiente nulo de y^{2}):
  • Tabela sintética rápida: trazer 1; multiplicar por 1 1; somar a 0 1; multiplicar por 1 1; somar a 2 3; multiplicar por 1 3; somar a -3 0.
    O quociente é \;y^{2}+y+3 e o resto 0. Logo
y^{3}+2y-3 = (y-1)\bigl(y^{2}+y+3\bigr).
Substituindo na fatoração anterior:
3y\bigl(y^{3}+2y-3\bigr) = 3y(y-1)\bigl(y^{2}+y+3\bigr).

Passo 7

Verifico se \;y^{2}+y+3 fatora mais: calculo o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot1\cdot3 = 1-12 = -11.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais e, mais importante para fatoração em inteiros/racionais, ela é irredutível sobre \mathbb{Q}. Portanto não se pode fatorar mais usando coeficientes inteiros ou racionais.

Passo 8

Conclusão e dica de prova: a fatoração completa sobre os racionais/integral é
3y(y-1)(y^{2}+y+3).
Na prova, primeiro sempre retire o MDC dos coeficientes e o menor expoente da(s) variável(eis). Depois examine o polinômio remanescente por possíveis raízes racionais (testando divisores do termo constante). Se encontrar uma raiz, divida (sinteticamente é rápido) e repita até chegar em fatores quadráticos ou lineares. Força aí — tá certinho!

Resposta

3y(y-1)(y^{2}+y+3)

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