Fator Comum
Passo 1
O enunciado pede para fatorizar o polinômio abaixo (ou seja, escrever como produto de fatores):
Informações dadas (cada termo do polinômio):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
O que se espera: retirar um fator comum a todos os termos e, se possível, fatorar mais o que sobrar.
Passo 2
Entendendo o que é “fator comum” (aulas rápidas):
- Entre os coeficientes numéricos
, e devemos pegar o divisor comum máximo (MDC). Aqui o MDC é porque divide , e , e nenhum número maior que divide todos eles. - Entre as potências da variável
em o fator em comum é elevado ao menor expoente presente, que é . Logo o fator em que todos têm é .
Portanto o fator comum numérico+variável é
Passo 3
Agora fatoramos
do polinômio dividindo cada termo por
. Faço cada divisão passo a passo:
Então escrevendo o polinômio com o fator comum destacado:
Passo 4
Verificação rápida (distribuição): multiplicando
pelos termos dentro dos parênteses obtemos novamente
,
,
. Está correto.
Passo 5
Agora vamos checar se o polinômio do parêntesis
pode ser fatorado mais (fatoração completa). Usamos o Teorema das Raízes Racionais: possíveis raízes racionais são divisores do termo constante
sobre divisores do coeficiente líder
, logo as candidatas são
.
Testo :
Testo
Como
zera o polinômio,
é um fator.
Passo 6
Divido
por
para obter o quociente. Usando divisão sintética com coeficientes
(observe o coeficiente nulo de
):
- Tabela sintética rápida: trazer
; multiplicar por dá ; somar a dá ; multiplicar por dá ; somar a dá ; multiplicar por dá ; somar a dá .
O quociente ée o resto . Logo
Substituindo na fatoração anterior:
Passo 7
Verifico se
fatora mais: calculo o discriminante
Como
, a quadrática não tem raízes reais e, mais importante para fatoração em inteiros/racionais, ela é irredutível sobre
. Portanto não se pode fatorar mais usando coeficientes inteiros ou racionais.
Passo 8
Conclusão e dica de prova: a fatoração completa sobre os racionais/integral é
Na prova, primeiro sempre retire o MDC dos coeficientes e o menor expoente da(s) variável(eis). Depois examine o polinômio remanescente por possíveis raízes racionais (testando divisores do termo constante). Se encontrar uma raiz, divida (sinteticamente é rápido) e repita até chegar em fatores quadráticos ou lineares. Força aí — tá certinho!