Exercício 8. Calcule as seguintes integrais:
(a) \int \operatorname{sen}^{3}(x) d x
(b) \int \cos ^{7}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas:
  • (a) \displaystyle \int \sin^{3}(x)\,dx
  • (b) \displaystyle \int \cos^{7}(x)\,dx
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • As integrais são indefinidas (logo o resultado deve conter uma constante de integração, que chamaremos de C).
  • As funções trigonométricas envolvidas são potências ímpares de \sin e \cos.

Passo 2

Ideia geral e ferramenta que vamos usar (explicação didática curta e amigável).
  • Quando a potência de \sin for ímpar, uma técnica muito prática é separar um fator \sin x e usar a identidade \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x. Em seguida faz-se a substituição u=\cos x porque du = -\sin x\,dx. Isso transforma a integral trigonométrica numa integral polinomial em u.
  • Quando a potência de \cos for ímpar, faz-se o análogo: separa-se um fator \cos x e usa-se \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x. Depois substitui-se u=\sin x, já que du=\cos x\,dx.
    Essa técnica funciona porque a derivada de \sin é \cos e a derivada de \cos é -\sin, então ao deixar um fator \sin x ou \cos x isolado conseguimos formar du.

Passo 3

Resolução de (a): \displaystyle \int \sin^{3}(x)\,dx.
Separe um fator \sin x e escreva o resto usando \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x:
\int \sin^{3}(x)\,dx = \int \sin^{2}(x)\,\sin x\,dx = \int \bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\sin x\,dx.
Agora faça a substituição \,u=\cos x\,. Então \,du = -\sin x\,dx\,, ou seja \sin x\,dx = -du. Substituindo:
\int \bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\sin x\,dx = \int (1-u^{2})(-du) = -\int (1-u^{2})\,du.
Integre termo a termo:
-\int (1-u^{2})\,du = -\int 1\,du + \int u^{2}\,du = -u + \frac{u^{3}}{3} + C.
Volte para a variável x usando u=\cos x:
\int \sin^{3}(x)\,dx = -\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C.
Dica rápida para a prova: memorize a estratégia (deixar um \sin x e substituir u=\cos x) — ela resolve todas as potências ímpares de \sin.

Passo 4

Resolução de (b): \displaystyle \int \cos^{7}(x)\,dx.
Separe um fator \cos x e escreva o restante em termos de \sin usando \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x:
\int \cos^{7}(x)\,dx = \int \cos^{6}(x)\,\cos x\,dx = \int \bigl(\cos^{2}x\bigr)^{3}\cos x\,dx = \int \bigl(1-\sin^{2}x\bigr)^{3}\cos x\,dx.
Agora faça a substituição \,u=\sin x\,. Então \,du=\cos x\,dx\,. Substituindo:
\int \bigl(1-\sin^{2}x\bigr)^{3}\cos x\,dx = \int (1-u^{2})^{3}\,du.
Expanda o polinômio (1-u^{2})^{3} usando o binômio de Newton:
(1-u^{2})^{3} = 1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}.
Agora integre termo a termo:
\int (1-u^{2})^{3}\,du = \int \bigl(1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}\bigr)\,du = u - u^{3} + \frac{3}{5}u^{5} - \frac{1}{7}u^{7} + C.
Volte para a variável x usando u=\sin x:
\int \cos^{7}(x)\,dx = \sin x - \sin^{3}x + \frac{3}{5}\sin^{5}x - \frac{1}{7}\sin^{7}x + C.
Dica para a prova: extrair um fator \cos x (quando potência ímpar) e substituir u=\sin x transforma a integral numa soma de potências de u — é cálculo direto.

Passo 5

Verificação rápida (opcional mas útil para confiança):
  • Diferenciando -\cos x + \dfrac{\cos^{3}x}{3} retorna \sin^{3}x (pela regra da cadeia), confirmando (a).
  • Diferenciando \sin x - \sin^{3}x + \dfrac{3}{5}\sin^{5}x - \dfrac{1}{7}\sin^{7}x retorna \cos^{7}x, confirmando (b).
    Fazer a verificação no rascunho da prova é uma boa prática para evitar erros de sinal ou coeficiente.

Resposta

\displaystyle -\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C
\displaystyle \sin x - \sin^{3}x + \frac{3}{5}\sin^{5}x - \frac{1}{7}\sin^{7}x + C

Exercícios relacionados