Exercício 8. Calcule as seguintes integrais:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas:
- (a)
- (b)
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- As integrais são indefinidas (logo o resultado deve conter uma constante de integração, que chamaremos de
). - As funções trigonométricas envolvidas são potências ímpares de
e .
Passo 2
Ideia geral e ferramenta que vamos usar (explicação didática curta e amigável).
- Quando a potência de
for ímpar, uma técnica muito prática é separar um fator e usar a identidade . Em seguida faz-se a substituição porque . Isso transforma a integral trigonométrica numa integral polinomial em . - Quando a potência de
for ímpar, faz-se o análogo: separa-se um fator e usa-se . Depois substitui-se , já que .
Essa técnica funciona porque a derivada deé e a derivada de é , então ao deixar um fator ou isolado conseguimos formar .
Passo 3
Resolução de (a):
.
Separe um fator
e escreva o resto usando
:
Agora faça a substituição
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Integre termo a termo:
Volte para a variável
usando
:
Dica rápida para a prova: memorize a estratégia (deixar um
e substituir
) — ela resolve todas as potências ímpares de
.
Passo 4
Resolução de (b):
.
Separe um fator
e escreva o restante em termos de
usando
:
Agora faça a substituição
. Então
. Substituindo:
Expanda o polinômio
usando o binômio de Newton:
Agora integre termo a termo:
Volte para a variável
usando
:
Dica para a prova: extrair um fator
(quando potência ímpar) e substituir
transforma a integral numa soma de potências de
— é cálculo direto.
Passo 5
Verificação rápida (opcional mas útil para confiança):
- Diferenciando
retorna (pela regra da cadeia), confirmando (a). - Diferenciando
retorna , confirmando (b).
Fazer a verificação no rascunho da prova é uma boa prática para evitar erros de sinal ou coeficiente.