Fatoração +
(b) 16 x^{2}-25

Passo 1

O enunciado dá a expressão que precisa ser fatorada: 16 x^{2}-25.
O que se pede: fatorar completamente esse polinômio — isto é, escrever 16 x^{2}-25 como um produto de fatores polinomiais de grau menor.

Passo 2

Observação inicial (o passo mais importante em prova): verificar se a expressão é uma diferença de quadrados. A diferença de quadrados tem a forma
a^{2}-b^{2},
e existe uma fatoração conhecida e muito usada:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a e b são quaisquer expressões (números, monômios, etc.). Essa fórmula vem do produto notável: (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.

Passo 3

Comparar a expressão dada com a forma a^{2}-b^{2}. Procuramos a e b tais que
16x^{2}=(a)^{2}\quad\text{e}\quad 25=(b)^{2}.
Reconhecemos que 16x^{2}=(4x)^{2} e 25=(5)^{2}. Portanto podemos tomar
a=4x,\qquad b=5.

Passo 4

Aplicar a fórmula da diferença de quadrados com a=4x e b=5:
16x^{2}-25=(4x)^{2}-(5)^{2}=(4x-5)(4x+5).

Passo 5

Verificação rápida (para garantir que não houve erro): multiplicar os fatores para voltar à expressão original.
Calcular (4x-5)(4x+5):
(4x-5)(4x+5)= (4x)\cdot(4x) + (4x)\cdot 5 - 5\cdot(4x) -5\cdot5.
Os termos cruzados se anulam, porque (4x)\cdot 5 - 5\cdot(4x)=0. Assim sobra
(4x-5)(4x+5)=16x^{2}-25,
que coincide com a expressão inicial.

Passo 6

Dica de prova (como reconhecer rápido): sempre que vir algo na forma A-B e ambos A e B forem quadrados perfeitos (como 16x^{2} e 25), tente imediatamente a diferença de quadrados. É uma fatoração rápida e muito comum. Se um dos termos não for quadrado perfeito, verifique se dá para fatorar algum fator comum primeiro ou reescrever como quadrado.

Resposta

(4x-5)(4x+5)

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