Fatoração +
(c) 25 x^{2}-49

Passo 1

O enunciado pede a fatoração do polinômio dado: 25 x^{2}-49.
Informações que temos: é um polinômio em uma variável x com dois termos (um termo quadrático 25x^{2} e uma constante -49). A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais (fatoração completa).

Passo 2

Identificar se o polinômio se encaixa numa identidade conhecida. Uma identidade muito útil é a diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a e b podem ser números ou expressões algébricas. Vou explicar por que isso vale: multiplicando as duas parcelas do lado direito (regra distributiva / FOIL),
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
pois os termos +ab e -ab se cancelam. Essa é a base que vamos usar.

Passo 3

Ver se cada termo do polinômio é um quadrado perfeito, ou seja, se pode ser escrito como a^{2} e b^{2}.
  • Para 25x^{2}, observe que 25x^{2}=(5x)^{2}, porque (5x)^{2}=5^{2}x^{2}=25x^{2}.
  • Para 49, observe que 49=7^{2}.
Portanto o polinômio pode ser visto como
25x^{2}-49=(5x)^{2}-7^{2},
ou seja, está na forma a^{2}-b^{2} com a=5x e b=7.

Passo 4

Aplicar a identidade da diferença de quadrados com a=5x e b=7:
(5x)^{2}-7^{2}=(5x-7)(5x+7).
Esse é o resultado da fatoração direta.

Passo 5

Verificação (sempre bom checar na prova): multiplicar os fatores obtidos para confirmar que retornam ao polinômio original:
(5x-7)(5x+7)=(5x)^{2}+5x\cdot7-7\cdot5x-7^{2}=25x^{2}+35x-35x-49=25x^{2}-49.
Os termos do meio se cancelam, ficando exatamente o polinômio inicial — portanto a fatoração está correta.

Passo 6

Dicas práticas para a prova:
  • Primeiro passo sempre: verifique se há fator comum num dos termos. Aqui não havia (além de 1).
  • Procure padrão de diferença de quadrados quando houver dois termos e sinais diferentes (um positivo e outro negativo) e ambos parecem quadrados perfeitos.
  • Lembre que soma de quadrados, a^{2}+b^{2}, não fatoriza em fatores reais (a menos que use números complexos); já a diferença de quadrados sempre fatoriza como acima.
  • Um truque rápido: tire raízes (ou reconheça 25 e 49 como quadrados de inteiros) e escreva os termos como (\text{raiz})^{2} para aplicar a identidade.

Passo 7

Exemplo extra rápido para fixar: fatorar 36y^{2}-25. Reconhece-se 36y^{2}=(6y)^{2} e 25=5^{2}, então
36y^{2}-25=(6y-5)(6y+5).

Resposta

(5x-7)(5x+7)

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