Fatoração +
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a fatoração do polinômio dado:
.
Informações que temos: é um polinômio em uma variável com dois termos (um termo quadrático
e uma constante
). A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais (fatoração completa).
Informações que temos: é um polinômio em uma variável
Passo 2
Identificar se o polinômio se encaixa numa identidade conhecida. Uma identidade muito útil é a diferença de quadrados:
Aqui
e
podem ser números ou expressões algébricas. Vou explicar por que isso vale: multiplicando as duas parcelas do lado direito (regra distributiva / FOIL),
pois os termos
e
se cancelam. Essa é a base que vamos usar.
Passo 3
Ver se cada termo do polinômio é um quadrado perfeito, ou seja, se pode ser escrito como
e
.
- Para
, observe que , porque . - Para
, observe que .
Portanto o polinômio pode ser visto como
ou seja, está na forma
com
e
.
Passo 4
Aplicar a identidade da diferença de quadrados com
e
:
Esse é o resultado da fatoração direta.
Passo 5
Verificação (sempre bom checar na prova): multiplicar os fatores obtidos para confirmar que retornam ao polinômio original:
Os termos do meio se cancelam, ficando exatamente o polinômio inicial — portanto a fatoração está correta.
Passo 6
Dicas práticas para a prova:
- Primeiro passo sempre: verifique se há fator comum num dos termos. Aqui não havia (além de 1).
- Procure padrão de diferença de quadrados quando houver dois termos e sinais diferentes (um positivo e outro negativo) e ambos parecem quadrados perfeitos.
- Lembre que soma de quadrados,
, não fatoriza em fatores reais (a menos que use números complexos); já a diferença de quadrados sempre fatoriza como acima. - Um truque rápido: tire raízes (ou reconheça 25 e 49 como quadrados de inteiros) e escreva os termos como
para aplicar a identidade.
Passo 7
Exemplo extra rápido para fixar: fatorar
. Reconhece-se
e
, então