Dê a fatoração completa da expressão abaixo.
x^4-81 y^4

Passo 1

O enunciado pede para decompor completamente a expressão x^4 - 81y^4 em fatores. O conteúdo principal que vamos usar é a fatoração de diferença de quadrados, que diz que para quaisquer A,B vale A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).

Passo 2

Percebemos que x^4 - 81y^4 pode ser visto como uma diferença de quadrados: (x^2)^2 - (9y^2)^2. Aplicando a fórmula, obtemos:
x^4 - 81y^4 = (x^2 - 9y^2)(x^2 + 9y^2)

Passo 3

O fator x^2 - 9y^2 ainda é uma diferença de quadrados, pois 9y^2 = (3y)^2. Logo,
x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y)
O outro fator x^2 + 9y^2 é uma soma de quadrados, que não se fatora mais sobre os reais. Assim, chegamos à fatoração completa.

Resposta

(x - 3y)(x + 3y)(x^2 + 9y^2)

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