Fatoração +
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão
.\n
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é um polinômio em
com termos e . - Os coeficientes/números presentes:
e . - Nota-se que
e .
Nada mais é pedido além de fatorar; a meta é escrever o polinômio como produto de fatores (preferivelmente fatores com coeficientes inteiros).
Passo 2
Escolhendo um caminho prático: como percebi que os dois termos são cubos perfeitos (
e
), é natural testar a fatoração que se aplica a soma de cubos. A fórmula padrão que vamos usar (e que convém memorizar) é:
Aqui
e
representam quaisquer expressões (números, monômios, etc.). Vou explicar essa fórmula em detalhe no próximo passo e mostrar que funciona.
Passo 3
Entenda a fórmula e por que ela vale: se expandirmos o lado direito teremos exatamente o lado esquerdo. Façamos a verificação simbólica para fixar a ideia:
Agora distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Note que os termos mistos se cancelam ou somam a zero de modo que resta
. Assim a fórmula está confirmada.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificar
e
na expressão
.
- Podemos escrever
, logo . - E
, logo .
Substituindo na fórmula
obtemos:
Passo 5
Calcule cada termo do segundo fator com calma (passo a passo, como na prova):
-
. -
. -
.
Portanto o segundo fator fica
. Logo a fatoração completa é
Passo 6
Verificação expandindo (para ter certeza, e para saber como justificar rapidamente na prova): multiplicando termo a termo,
Calculando cada produto:
Agrupando termos semelhantes:
que é exatamente a expressão original. A fatoração está correta.
Passo 7
Observação final sobre irreducibilidade: o fator quadrático
tem discriminante
ou seja, não tem raízes reais; portanto não pode ser fatorado em fatores lineares com coeficientes reais ou racionais. Assim a fatoração que encontramos é a fatoração completa sobre os números reais/racionais.