Fatoração +
(h) 27 x^{3}+64

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \;27 x^{3}+64.\n
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é um polinômio em x com termos 27 x^{3} e 64.
  • Os coeficientes/números presentes: 27 e 64.
  • Nota-se que 27=3^{3} e 64=4^{3}.
    Nada mais é pedido além de fatorar; a meta é escrever o polinômio como produto de fatores (preferivelmente fatores com coeficientes inteiros).

Passo 2

Escolhendo um caminho prático: como percebi que os dois termos são cubos perfeitos ( 27=(3)^{3} e 64=(4)^{3}), é natural testar a fatoração que se aplica a soma de cubos. A fórmula padrão que vamos usar (e que convém memorizar) é:
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Aqui a e b representam quaisquer expressões (números, monômios, etc.). Vou explicar essa fórmula em detalhe no próximo passo e mostrar que funciona.

Passo 3

Entenda a fórmula e por que ela vale: se expandirmos o lado direito teremos exatamente o lado esquerdo. Façamos a verificação simbólica para fixar a ideia:
(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr)=a\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr)+b\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Agora distribuindo:
= a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+ba^{2}-ab^{2}+b^{3}.
Agrupando termos semelhantes:
= a^{3} + (-a^{2}b+ba^{2}) + (ab^{2}-ab^{2}) + b^{3} = a^{3}+b^{3}.
Note que os termos mistos se cancelam ou somam a zero de modo que resta a^{3}+b^{3}. Assim a fórmula está confirmada.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificar a e b na expressão \;27 x^{3}+64.
  • Podemos escrever \;27 x^{3}=(3x)^{3}, logo \;a=3x.
  • E \;64=4^{3}, logo \;b=4.
Substituindo na fórmula \;a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) obtemos:
(3x+4)\bigl((3x)^{2}-(3x)\cdot4+4^{2}\bigr).

Passo 5

Calcule cada termo do segundo fator com calma (passo a passo, como na prova):
  • (3x)^{2}=9x^{2}.
  • (3x)\cdot 4=12x.
  • 4^{2}=16.
Portanto o segundo fator fica \;9x^{2}-12x+16. Logo a fatoração completa é
(3x+4)(9x^{2}-12x+16).

Passo 6

Verificação expandindo (para ter certeza, e para saber como justificar rapidamente na prova): multiplicando termo a termo,
(3x+4)(9x^{2}-12x+16)=3x\cdot9x^{2}+3x\cdot(-12x)+3x\cdot16+4\cdot9x^{2}+4\cdot(-12x)+4\cdot16.
Calculando cada produto:
=27x^{3}-36x^{2}+48x+36x^{2}-48x+64.
Agrupando termos semelhantes:
=27x^{3} + (-36x^{2}+36x^{2}) + (48x-48x) +64 =27x^{3}+64,
que é exatamente a expressão original. A fatoração está correta.

Passo 7

Observação final sobre irreducibilidade: o fator quadrático 9x^{2}-12x+16 tem discriminante
\Delta = (-12)^{2}-4\cdot9\cdot16 =144-576 = -432 <0,
ou seja, não tem raízes reais; portanto não pode ser fatorado em fatores lineares com coeficientes reais ou racionais. Assim a fatoração que encontramos é a fatoração completa sobre os números reais/racionais.

Resposta

(3x+4)\left(9x^{2}-12x+16\right)

Exercícios relacionados