Fatoração +
(k)
(k)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
. Informações dadas:
- Temos um polinômio em
de grau 3 com coeficientes inteiros. - Objetivo: escrever
como um produto de fatores (fatoração completa), preferencialmente fatores lineares ou quadráticos irredutíveis com coeficientes inteiros.
Passo 2
Procurar o fator comum (máximo divisor comum) entre os termos. Explicando o que é isso: o fator comum é o maior número que divide todos os coeficientes e a menor potência de cada variável que aparece em todos os termos. Aqui os termos são
e
.
- Analisando os coeficientes:
. - Analisando as variáveis: os termos têm
e ; a menor potência comum é .
Portanto o fator comum é
. (Dica rápida: sempre comece por isso numa prova — tira muita conta desnecessária depois.)
Passo 3
Fatorar esse fator comum utilizando a propriedade distributiva
. Ao tirar
de cada termo:
Expliquei: ao dividir
por
sobra
; ao dividir
por
sobra
.
Passo 4
Reconhecer a forma
. Isso é uma diferença de quadrados, que segue a identidade padrão:
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar
e
, porque
.
Passo 5
Aplicar a identidade da diferença de quadrados:
Então a fatoração total, substituindo isso em
, fica:
Passo 6
Verificação rápida (sempre faça isso na prova para não perder pontos): expandir os fatores para conferir que retornam ao polinômio original.
Primeiro
. Em seguida multiplicar por
:
que é exatamente o polinômio inicial. Portanto a fatoração está correta.
Passo 7
Observações úteis para a prova:
- Raízes do polinômio (soluções de
) são (extração imediata dos fatores lineares). - Estratégia geral: sempre primeiro buscar o fator comum; depois identificar padrões clássicos (diferença de quadrados, quadrado perfeito, soma/diferença de cubos, ou fatoração de quadrática).
- Exemplo rápido parecido: fatorar
. Primeiro fator comum : . Depois diferença de quadrados: .