Fatoração +
(k) 3 x^{3}-12 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio \,3x^{3}-12x\,. Informações dadas:
  • Temos um polinômio em x de grau 3 com coeficientes inteiros.
  • Objetivo: escrever \,3x^{3}-12x\, como um produto de fatores (fatoração completa), preferencialmente fatores lineares ou quadráticos irredutíveis com coeficientes inteiros.

Passo 2

Procurar o fator comum (máximo divisor comum) entre os termos. Explicando o que é isso: o fator comum é o maior número que divide todos os coeficientes e a menor potência de cada variável que aparece em todos os termos. Aqui os termos são \,3x^{3} e \,-12x.
  • Analisando os coeficientes: \gcd(3,12)=3.
  • Analisando as variáveis: os termos têm x^{3} e x^{1}; a menor potência comum é x^{1}=x.
Portanto o fator comum é \,3x\,. (Dica rápida: sempre comece por isso numa prova — tira muita conta desnecessária depois.)

Passo 3

Fatorar esse fator comum utilizando a propriedade distributiva \,a(b+c)=ab+ac\,. Ao tirar \,3x\, de cada termo:
3x^{3}-12x = 3x\bigl(x^{2}\bigr)-3x\bigl(4\bigr) = 3x\bigl(x^{2}-4\bigr).
Expliquei: ao dividir 3x^{3} por 3x sobra x^{2}; ao dividir -12x por 3x sobra -4.

Passo 4

Reconhecer a forma \,x^{2}-4\,. Isso é uma diferença de quadrados, que segue a identidade padrão:
a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar a=x e b=2, porque x^{2}-4 = x^{2}-2^{2}.

Passo 5

Aplicar a identidade da diferença de quadrados:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Então a fatoração total, substituindo isso em \,3x(x^{2}-4)\,, fica:
3x\bigl(x^{2}-4\bigr) = 3x(x-2)(x+2).

Passo 6

Verificação rápida (sempre faça isso na prova para não perder pontos): expandir os fatores para conferir que retornam ao polinômio original.
Primeiro (x-2)(x+2) = x^{2}-4. Em seguida multiplicar por 3x:
3x(x^{2}-4) = 3x^{3} - 12x,
que é exatamente o polinômio inicial. Portanto a fatoração está correta.

Passo 7

Observações úteis para a prova:
  • Raízes do polinômio (soluções de 3x^{3}-12x=0) são x=0,\;x=2,\;x=-2 (extração imediata dos fatores lineares).
  • Estratégia geral: sempre primeiro buscar o fator comum; depois identificar padrões clássicos (diferença de quadrados, quadrado perfeito, soma/diferença de cubos, ou fatoração de quadrática).
  • Exemplo rápido parecido: fatorar 6x^{2}-54. Primeiro fator comum 6: 6(x^{2}-9). Depois diferença de quadrados: 6(x-3)(x+3).

Resposta

3x(x-2)(x+2)

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