Fatore cada expressão.
x^{4}-x^{3}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^{4} - x^{3} - x^{2}.
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios: primeiro a gente extrai fator comum, depois vê se sobra um trinômio que dá para fatorar.

Passo 2

Procura-se o maior monômio que divide todos os termos de
x^{4},\; -x^{3},\; -x^{2}.
Note que cada termo tem pelo menos x^{2}, então o fator comum é x^{2}.

Passo 3

Extraindo x^{2} do polinômio original, obtemos
x^{4} - x^{3} - x^{2} = x^{2}\bigl(x^{2} - x - 1\bigr).

Passo 4

Agora analisamos o trinômio x^{2} - x - 1. Para ver se ele fatora sobre os reais, calculamos o discriminante
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.
Como \Delta=5>0, as raízes são reais porém irracionais:
x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto, sobre \mathbb{R} a fatoração completa é
x^{2}\bigl(x - \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr)\bigl(x - \tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\bigr).
Se quisermos só fatorar em \mathbb{Z}[x], paramos em x^{2}(x^{2}-x-1).

Resposta

x^{4}-x^{3}-x^{2}=x^{2}\bigl(x^{2}-x-1\bigr)
(opcionalmente sobre \mathbb{R}: =x^{2}(x-\tfrac{1+\sqrt5}2)(x-\tfrac{1-\sqrt5}2)).

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