Fatore cada expressão
x^{2}-16

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \,x^{2}-16\,.
Informações dadas:
  • A expressão a ser fatorada é \,x^{2}-16\,.
  • Não há outros dados; o objetivo é escrever essa expressão como um produto de fatores polinomiais.

Passo 2

Observação inicial (reescrita): escrever o número 16 como uma potência que seja um quadrado perfeito.
16 = 4^{2},
portanto a expressão pode ser reescrita como
x^{2}-16 = x^{2}-4^{2}.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar (explicação didática). Existe uma identidade algébrica muito útil chamada diferença de quadrados, que diz o seguinte para quaisquer números ou expressões a e b:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui cada símbolo significa:
  • a e b representam quaisquer expressões ou números (por exemplo a=x, b=4).
  • O lado esquerdo é a diferença entre os quadrados de a e b.
  • O lado direito é o produto da diferença a-b pela soma a+b.
Essa identidade funciona porque, ao multiplicar (a-b)(a+b), os termos mistos se cancelam (mostro isso no próximo passo).

Passo 4

Aplicando a identidade ao nosso caso: comparar \,x^{2}-4^{2}\, com \,a^{2}-b^{2}\,. Temos a=x e b=4. Usando a fórmula,
x^{2}-4^{2}=(x-4)(x+4).
Então uma fatoração candidata é (x-4)(x+4).

Passo 5

Verificação por expansão (mostrar que é exatamente igual): multiplicar os fatores para checar.
(x-4)(x+4)=x\cdot x + x\cdot 4 -4\cdot x -4\cdot 4 = x^{2}+4x-4x-16 = x^{2}-16.
Os termos +4x e -4x se anulam, sobrando exatamente x^{2}-16. Portanto a fatoração está correta.

Passo 6

Outra interpretação útil (raiz e fatores lineares): resolver \,x^{2}-16=0\,
x^{2}=16\quad\Rightarrow\quad x=\pm 4.
As raízes x=4 e x=-4 correspondem aos fatores lineares (x-4) e (x+4). Isso confirma novamente que
x^{2}-16=(x-4)(x+4).

Passo 7

Dica prática para prova (resumo rápido e memória): sempre que vir algo do tipo \,A^{2}-B^{2}\,, aplique imediatamente
A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B).
Antes disso, verifique se existe um fator comum a ser retirado; se existir, retire-o e depois veja se sobra uma diferença de quadrados.

Resposta

(x-4)(x+4)

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