Exercício 0.15 A equação \left(m^{2}+1\right) x^{2}-2 m x+5=0 admite uma raiz negativa para qual condição sobre m ?

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
\left(m^{2}+1\right) x^{2}-2 m x+5=0
e pede: para quais valores de m a equação admite uma raiz negativa?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da quadrática (em função de m):
    • a=m^{2}+1,
    • b=-2m,
    • c=5.
  • Queremos saber existência de raiz real com sinal negativo.

Passo 2

Primeira observação importante (útil para raciocinar sobre sinais das raízes):
a=m^{2}+1>0\quad\text{para todo }m\in\mathbb{R},
pois m^{2}\ge 0 e somando 1 fica sempre estritamente positivo. Isso significa que a parábola associada abre para cima. Para que exista uma raiz negativa é preciso, antes de tudo, que a equação tenha raízes reais (caso contrário não há raiz negativa real).

Passo 3

Vamos estudar a existência de raízes reais usando o discriminante. Lembrando: para uma quadrática ax^{2}+bx+c=0 as raízes são reais se, e somente se, o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac
satisfaz \Delta\ge 0. Aqui b=-2m e c=5, então calculamos \Delta:
\begin{aligned} \Delta &= (-2m)^{2}-4(m^{2}+1)\cdot 5\\[4pt] &=4m^{2}-20(m^{2}+1)\\[4pt] &=4m^{2}-20m^{2}-20\\[4pt] &=-16m^{2}-20\\[4pt] &=-4\bigl(4m^{2}+5\bigr). \end{aligned}]

Passo 4

Analisando o resultado: para qualquer m\in\mathbb{R} tem-se 4m^{2}+5>0 (pois 4m^{2}\ge 0 e +5 torna estritamente positivo). Portanto
\Delta=-4\bigl(4m^{2}+5\bigr)<0\quad\text{para todo }m\in\mathbb{R}.
Como o discriminante é estritamente negativo para todo m real, a equação não tem raízes reais para nenhum m\in\mathbb{R}.

Passo 5

Conclusão lógica: se não existem raízes reais, então não pode existir raiz negativa real. Logo não há nenhum valor real de m que faça a equação admitir uma raiz negativa.

Resposta

Não existe m\in\mathbb{R} tal que a equação admita uma raiz negativa.

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