Exercício 0.15 A equação
admite uma raiz negativa para qual condição sobre
?
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede: para quais valores de
a equação admite uma raiz negativa?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da quadrática (em função de
): -
, -
, -
.
-
- Queremos saber existência de raiz real com sinal negativo.
Passo 2
Primeira observação importante (útil para raciocinar sobre sinais das raízes):
pois
e somando
fica sempre estritamente positivo. Isso significa que a parábola associada abre para cima. Para que exista uma raiz negativa é preciso, antes de tudo, que a equação tenha raízes reais (caso contrário não há raiz negativa real).
Passo 3
Vamos estudar a existência de raízes reais usando o discriminante. Lembrando: para uma quadrática
as raízes são reais se, e somente se, o discriminante
satisfaz
. Aqui
e
, então calculamos
:
Passo 4
Analisando o resultado: para qualquer
tem-se
(pois
e
torna estritamente positivo). Portanto
Como o discriminante é estritamente negativo para todo
real, a equação não tem raízes reais para nenhum
.
Passo 5
Conclusão lógica: se não existem raízes reais, então não pode existir raiz negativa real. Logo não há nenhum valor real de
que faça a equação admitir uma raiz negativa.
Resposta
Não existe
tal que a equação admita uma raiz negativa.