Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
\frac{x^{2}+2 x-1}{x^{2}-1} \geq \frac{1}{x+1}.

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\frac{x^{2}+2x-1}{x^{2}-1} \geq \frac{1}{x+1}
e pede que se determine o conjunto de valores de x que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Há frações com denominadores x^{2}-1 e x+1, portanto alguns valores de x ficarão proibidos (onde os denominadores são zero).
  • A incógnita é x real e queremos todas as x reais que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Determinar o domínio: identificar os pontos onde as expressões não estão definidas porque o denominador é zero.
x^{2}-1=0 \iff x=\pm 1, \qquad x+1=0 \iff x=-1.
Logo x\neq 1 e x\neq -1. Esses valores não podem pertencer à solução porque a expressão original fica indefinida neles.

Passo 3

Colocar tudo em um único membro com denominador comum para manipular a inequação. Usar x^{2}-1=(x-1)(x+1) como denominador comum. Reescrevendo a segunda fração com o mesmo denominador:
\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{x^{2}-1}\quad(\text{válido para }x\neq 1,\,-1).á
Subtraindo do lado esquerdo:
\frac{x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}-\frac{1}{x+1} =\frac{x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}-\frac{x-1}{x^{2}-1} =\frac{x^{2}+2x-1-(x-1)}{x^{2}-1}.

Passo 4

Fazer as contas no numerador passo a passo:
x^{2}+2x-1-(x-1)=x^{2}+2x-1-x+1=x^{2}+x.
Portanto a desigualdade fica
\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}\ge 0.
Fatorando numerador e denominador:
\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}\ge 0.
Podemos simplificar o fator (x+1), mas lembrando que x=-1 está proibido pelo domínio. Após cancelar x+1 (com a ressalva x\neq -1) obtemos a inequação equivalente para x\neq\pm 1:
\frac{x}{x-1}\ge 0.

Passo 5

Explicar a estratégia para resolver \dfrac{x}{x-1}\ge 0: analisar o sinal do quociente pelos sinais dos fatores x (numerador) e x-1 (denominador). Os pontos críticos que mudam sinal são as raízes desses fatores e também os pontos excluídos do domínio:
  • x=0 zera o numerador (possível inclusão porque \ge 0 permite igualdade).
  • x=1 zera o denominador (proibido).
  • Além disso lembrar que x=-1 foi excluído anteriormente (apesar de não aparecer mais na forma simplificada).
Portanto, separar a reta real em intervalos pelos pontos -1,0,1.

Passo 6

Analisar o sinal em cada intervalo (usar um valor teste em cada intervalo é a forma mais direta):
  • Para x< -1 (por exemplo x=-2) temos x<0 e x-1<0, então \dfrac{x}{x-1}>0.
  • Para -1<x<0 (por exemplo x=-\tfrac12) temos x<0 e x-1<0, então \dfrac{x}{x-1}>0.
    Observação: mesmo que nessas duas faixas o sinal seja o mesmo, não se pode incluir x=-1 porque era proibido no domínio original.
  • Para 0<x<1 (por exemplo x=\tfrac12) temos x>0 e x-1<0, então \dfrac{x}{x-1}<0.
  • Para x>1 (por exemplo x=2) temos x>0 e x-1>0, então \dfrac{x}{x-1}>0.
Como queremos \dfrac{x}{x-1}\ge 0, aceitamos as regiões onde a fração é positiva e também o ponto onde é zero (se for permitido pelo domínio). A fração é zero quando x=0, e x=0 é permitido (não está excluído).

Passo 7

Juntando tudo e lembrando das exclusões:
  • Intervalos onde a desigualdade vale estritamente: (-\infty,-1), (-1,0) e (1,\infty).
  • O ponto x=0 também satisfaz (igualdade), então incluir 0 fechando o intervalo (-1,0].
  • Excluir x=-1 e x=1 porque denominadores anulam as expressões originais.
Logo a solução final é
(-\infty,-1)\cup(-1,0]\cup(1,\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,0]\cup(1,\infty)

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