Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede que se determine o conjunto de valores de
que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Há frações com denominadores
e , portanto alguns valores de ficarão proibidos (onde os denominadores são zero). - A incógnita é
real e queremos todas as reais que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Determinar o domínio: identificar os pontos onde as expressões não estão definidas porque o denominador é zero.
Logo
e
. Esses valores não podem pertencer à solução porque a expressão original fica indefinida neles.
Passo 3
Colocar tudo em um único membro com denominador comum para manipular a inequação. Usar
como denominador comum. Reescrevendo a segunda fração com o mesmo denominador:
Subtraindo do lado esquerdo:
Passo 4
Fazer as contas no numerador passo a passo:
Portanto a desigualdade fica
Fatorando numerador e denominador:
Podemos simplificar o fator
, mas lembrando que
está proibido pelo domínio. Após cancelar
(com a ressalva
) obtemos a inequação equivalente para
:
Passo 5
Explicar a estratégia para resolver
: analisar o sinal do quociente pelos sinais dos fatores
(numerador) e
(denominador). Os pontos críticos que mudam sinal são as raízes desses fatores e também os pontos excluídos do domínio:
-
zera o numerador (possível inclusão porque permite igualdade). -
zera o denominador (proibido). - Além disso lembrar que
foi excluído anteriormente (apesar de não aparecer mais na forma simplificada).
Portanto, separar a reta real em intervalos pelos pontos
.
Passo 6
Analisar o sinal em cada intervalo (usar um valor teste em cada intervalo é a forma mais direta):
- Para
(por exemplo ) temos e , então . - Para
(por exemplo ) temos e , então .
Observação: mesmo que nessas duas faixas o sinal seja o mesmo, não se pode incluirporque era proibido no domínio original. - Para
(por exemplo ) temos e , então . - Para
(por exemplo ) temos e , então .
Como queremos
, aceitamos as regiões onde a fração é positiva e também o ponto onde é zero (se for permitido pelo domínio). A fração é zero quando
, e
é permitido (não está excluído).
Passo 7
Juntando tudo e lembrando das exclusões:
- Intervalos onde a desigualdade vale estritamente:
, e . - O ponto
também satisfaz (igualdade), então incluir fechando o intervalo . - Excluir
e porque denominadores anulam as expressões originais.
Logo a solução final é