Fatore cada expressão
4 x^{2}-25

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão 4x^{2}-25.
Informações dadas:
  • A expressão a fatorar é 4x^{2}-25.
  • Não há outras condições ou variáveis além de x.

Passo 2

Vamos reconhecer um padrão clássico: a diferença entre dois quadrados. A fórmula que usamos é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando a fórmula (para fixar bem): se expandirmos o lado direito obtemos
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
ou seja, os termos +ab e -ab se cancelam. Aqui a e b são quaisquer expressões (podem ser números, monômios, etc.). Essa é a identidade que vamos aplicar.

Passo 3

Agora compare a expressão dada com a forma a^{2}-b^{2}. Observe que
4x^{2}=(2x)^{2} \qquad\text{e}\qquad 25=5^{2}.
Portanto podemos tomar
a=2x,\qquad b=5.

Passo 4

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados com a=2x e b=5, obtemos a fatoração
(2x-5)(2x+5).

Passo 5

Verificação (sempre bom checar na prova): multiplicando os fatores para ver se voltamos à expressão original,
(2x-5)(2x+5)= (2x)^{2}+ (2x)\cdot 5 -5\cdot(2x) -5^{2} = 4x^{2}+10x-10x-25=4x^{2}-25,
os termos +10x e -10x se cancelam, confirmando que a fatoração está correta.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Procure sempre por padrões: diferença de quadrados a^{2}-b^{2}, quadrado perfeito, fator comum etc.
  • Um sinal de que é diferença de quadrados é ter dois termos, ambos quadrados (como 4x^{2} e 25), e sinal negativo entre eles.
  • Pratique outros exemplos: por exemplo, 9y^{2}-16=(3y-4)(3y+4).

Resposta

(2x-5)(2x+5)

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