Fatore cada expressão.
-x^{3}+4 x^{2}+8 x+8

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
-\,x^{3} \;+\;4\,x^{2}\;+\;8\,x\;+\;8.
O conteúdo aqui é “fatoração de polinômio em \mathbb{Q}[x]”: vamos tentar extrair fator comum e, depois, procurar raízes racionais (teste das raízes possíveis) para ver se conseguimos decompor em fatores de grau menor com coeficientes inteiros.

Passo 2

Extraímos o fator comum -1:
-\,x^{3} +4\,x^{2} +8\,x +8 \;=\; -\,\bigl(x^{3}-4\,x^{2}-8\,x-8\bigr).

Passo 3

Aplicando o teste de raízes racionais ao polinômio
f(x)=x^{3}-4\,x^{2}-8\,x-8,
as únicas candidatas são divisores de -8, ou seja \pm1,\pm2,\pm4,\pm8.
Calculando
f(1)=-19,\; f(-1)=-5,\; f(2)=-32,\; f(-2)=-16,\; f(4)=-40,\; f(-4)=-104,\; f(8)=184,\; f(-8)=776,
vemos que nenhuma dessas dá zero. Logo f(x) não tem raízes racionais.

Passo 4

Como não há raízes racionais, f(x) é irredutível em \mathbb{Q}[x]. Assim, a única fatoração em polinômios de coeficientes inteiros é a que já obtivemos extraindo -1.

Resposta

-\,x^{3} +4\,x^{2} +8\,x +8 \;=\; -\bigl(x^{3}-4\,x^{2}-8\,x-8\bigr).

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